10. Атомна фізика та квантова механіка

Французький вчений де Бройль (1892 - 1987) висунув у 1923 р. гіпотезу про універсальність корпускулярно - хвильового дуалізму.

Згідно з де Бройлем, з кожним мікрооб’єктом св’язуються, з одного боку, корпускулярні характеристики - енергіяЕта імпульср,а з іншого - хвильові характеристики: частотаvта довжина хвилі. Кількісні співвідношення, що зв’язують корпускулярні та хвильові властивості частинок, такі ж, як для фотонів:

E = h, p = h/(10.1)

Будь-якій частинці, що має імпульс, зіставляють хвильовий процес з довжиною хвилі, визначеної за формулою де Бройля:

 = h/р. (10. 2)

Згідно з корпускулярно - хвильовою природою частинок речовини, для характеристики мікрочастинок використовують і хвильові, і корпускулярні уявлення. Тому необхідно внести деякі обмеження у використанні до об’єктів мікросвіту понять класичної механіки.

Згідно з співвідношенням невизначеностей Гейзенберга,мікрочастинка не може мати одночасно і визначену координату(x, у,z), і визначену відповідну проекцію імпульсу (р_х , р_у , p_z),причому невизначеності величин задовольняють умови

x р_х,y р_у,z p_z, (10. 3)

тобто добуток невизначеностей координати та відповідній ій проекції імпульсу не може бути меншим величин порядка h.

У квантовій теорії використовується також співвідношення невизначеностей для енергії Ета часуt,тобто невизначеності цих величин задовольняють умови

Et h. (10. 4)

Перша спроба побудувати якісно нову - квантову - теорію атома була здійснена у 1913 г. датським фізиком Нільсом Бором (1885-1962). Його теорія грунтується на двох постулатах.

Перший постулат Бора: в атомі існують стаціонарні (не змінні за часом) стани, у яких він не випромінює енергії. У стаціонарному стані атома електрон, рухаючись по коловій орбіті, повинен мати дискретні квантовані значення моменту імпульсу, який задовольняє умову

mvr_n= nh(n = 1,2,3,...), (10. 5)

де т_e - маса електрона,v - його швидкість наn - й орбіті радіусаr_n,.

Другий постулат Бора (правило частот): при переході електрона з однієї стаціонар­ної орбіти на іншу випромінюється (поглинається) один фотон з енергією

hv = E_n - E_m , (10.6)

рівною різниці енергій відповідних стаціонарних станів (E_n і Е_m -відповідно енергії стаціонарних станів атома до та після випромінювання (поглинання)). ПриЕ_m < Е_п відбувається випромінювання фотона, приЕ_m > E_n - його поглинання. Набір можливих дискретних частотv = (E_n - Е_m)/hквантових перехо­дів і визначає лінійчатий спектр атома.

Для воднеподібного атома радіус n– ої стаціонарної орбіти електрона приn= 1, який є першим борівським радіусом, дорівнює

r_n= ,

де n= 1, 2, 3, … .

Повна енергія електрона у воднеподібній системі складається з його кіне­тичної енергії () та потенційної енергії у електростатичнму полі ядра (- ):

E= -= .

Враховуючи квантовані для радіуса n -оїстационарної орбіти значення, отримаємо, що енергія електрона може прий­мати тільки такі дозволені дискретні значення:

(10. 7)

де знак мінус означає, що електрон знаходиться у зв’язаному стані.

Енергетичний стан з п = 1 є основним (нормальним)станом; стани з п >1 є збудженими.Надаючипрізні цілочислові значення, отримаємо для атома водню (Z= 1), згідно з формулою (12. 7), можливі рівні енергії. Енергія атома водню зі зростаннямпзростає, і енергетичні рівні наближаються до границі, що відповідає значеннюn= . Атом водню має мінімальну енергію (E₁ = -13,55 еВ) приn= 1 і мак­симальну (E) приn = . ЗначенняE = 0 відповідає іонізації атома (відриву від нього електрона). Згідно з другим постулатом Бора, при переході атома водню (Z= 1) зі стаціонарного станупу стаціонарний стантз меншою енергією випромінюється квант з частотою випромінювання

(10. 8 )

де R = .

Головне квантове число n визначає енергетичні рівні електрона в атомі і може приймати будь-які цілочислові значення, починаючи з одиниці:

n = 1, 2, 3, ...

Із розв’язання рівняння Шредінгера момент імпульса(механічний орбітальний момент) електрона квантується

L_l = , (10. 9)

де l-орбітальне квантове число, яке при заданомупприймає значення

l = 0, 1,...,(n- 1), (10. 10)

тобто всього пзначень, і визначає момент імпульса електрона в атомі.

Із рішення рівняння Шредінгера випливає також, що вектор L_lмоменту імпульса електрона може мати лише квантовані значення, кратні:

L_lz =m_l, (10. 11)

де m_l - магнітне квантове число,яке при заданомуlможе приймати значення

m_l= 0, ±1, ±2,…, ±l, (10. 12)

тобто всього 2l+ 1 значень. Таким чином, магнітне квантове числоm_lвизначаєпроекцію моменту імпульса електрона на заданий напрямок.

Американські фізики Д. Уленбек (1900 - 1974) і С. Гаудсміт (1902 - 1979) припустили, що електрон володіє власним механічним моментом імпульса, не зв’язаним з рухом електрона у просторі, - спіном.

Якщо електрону приписується власний механічний момент імпульса (спін) L_s, тоді йому відповідає власний магнітний моментp_ms. Згідно з загальними висновками квантової механіки, спін квантується за законом

L= ,

де s - спінове квантове число.

Проекція спіну на напрямок зовнішнього магнітного поля, що є квантованою величиною, визначається виразом

L_sz = ,

де m_s - магнітне спінове квантове число; воно може мати тільки два значення:

Стан електрона в атомі визначається набором чотирьох квантових чисел: головного п(n = 1, 2, 3, ...), орбітальногоl(l = 0, 1, 2, ...,n - 1), магнітногоm_l (m_l= -l, ..., -1, 0, +1, ..., +l), магнітного спіновогот_s (т_s = +1/2, - 1/2).

Розподіл електронів у атомі подкоряється принципу Паулі, який може бути використаний у його простій формулі: в одному і тому ж атомі не може бути більше одного електрона з однаковим набором чотирьох квантових чиселn,l,m_lит_s, тобто

Z(n, l, m_l, m_s) = 0 чи 1,

де Z(n, l, m_l, m_s) -число електронів, що знаходяться у квантовому стані, який описується набором чотирьох квантових чисел:n, l, m_l, m_s.

Квантове число т_sможе приймати лише два значення (±¹/2). Тому максимальне число електронів, що знаходяться у станах, які визначаються головним квантовим числом, дорівнює

Z(n) =

У 1916 р. А.Ейнштейн для пояснення термодинамічної рівноваги між речовиною та випромінюванням, яке випромінюється та поглинається, сформулював постулат, що крім поглинання та випромінювання повинен існувати третій, якісно інший тип взаємодії. Якщо на атом, що знаходиться у збудженому стані 2,діє зовнішнє випромінювання з частотою, яка задовольняє умовуhv = E₂ – E₁,тоді виникає вимушений перехід в основний стан 1 з випромінюванням фотона тієї ж енергії. При такому переході відбувається випромінювання атомом фотона додатково до того фотона, під дією якого здійснився перехід. Випромінювання, що виникає у результаті таких переходів, називається вимушеним випромінюванням.Щоб середовище посилювало падаюче на неї випромінювання, необхідно створити нерів­новажний стан системи, при якому число атомів було б більше, ніж їх число у основному стані. Такий стан називається станом з інверсією населеностей. Процес створення нерівноважного стану речовини (переведення системи у стан з інверсією населеностей) називається накачуванням. Накачування можливо створити оптичними, електричними та іншими засобами.

Практично інверсний стан середовища отримано в нових джерелах випромінювання - оптичних квантових генераторах, або лазерах (від перших літер англійської назви Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation - підсиле­ння світла за допомогою вимушеного випромінювання). Лазери генерують у видимій, інфрачервоній та ультрафіолетовій областях (в оптичному діапазоні).

Лазерне випромінювання має такі властивості:

1. Часова та просторова когерентність. Час когерентності становить 10^-3 с, що відповідає довжині когерентності порядку 10⁵ м.

2. Сувора монохроматичність ( < 10^-11 м).

3. Більша густина потоку енергії.

4. Дуже мале кутове розходження в пучку.

Лазери широко використовуються у вимірювальній технці. Лазерні інтерферометри (у них джерелом світла є лазер) використовують для точних дистанційних вимірюваь лінійних переміщень, коефіцієнтів заломлення середовища, тиску, температури.