OM-labi-1

Задача № 5

Розрахунок балки на міцність при згині

Задано дві схеми балок або одна (за вказівкою викладача) (рис. 5).

Потрібно:

1.Накреслити розрахункові схеми, вказавши числові значення розмірів та навантаження.

2.Визначити опорні реакції та перевірити їх.

3.Скласти аналітичні вирази згинального моменту M (x) та поперечної

сили Q(x) на всіх ділянках.

4.Побудувати епюри внутрішніх зусиль Q(x) та M (x) .

5.Користуючись епюрами згинальних моментів M (x) та поперечних сил Q(x) , встановити положення небезпечного перерізу. Виконати добір перері-

зів балок:

а) для схеми I – прямокутний h×b , приймаючи Rа =16 МПа (клеєна деревина), h:b=1,5 (або двотавровий при [σ]=160 МПа);

б) для схеми II – двотавровий (ГОСТ 8509-72) при розрахунковому опорі R=200 МПа (сталь).

Вихідні дані обрати з табл. 5.

Таблиця 5

Вихідні дані до задачі № 5

11

Закінчення табл. 4

Рис. 6а. Схема до прикладу визначення V *(x) – складова, що залежить від навантаження

Рис. 6б. Варіанти розрахункових схем до задачі № 6

13

Методичні вказівки

Для визначення прогину та кута закручування в будь-якій точці слід скористатися рівняннями методу початкових параметрів у вигляді

геометричних умов на лівому кінці балки;

V *(x) – складова, що залежить від навантаження у прогоні балки.

xi – відстань від лівого кінця балки (початок координат) до відповідного

Якщо навантаження має протилежний напрям, то знаки перед відповідними складовими змінюються на протилежні.

Задача № 7

Розрахунок статично невизначуваних задач при згині

Для статично невизначуваної балки сталого поперечного перерізу (рис. 7) потрібно побудувати епюри згинальних моментів M (x) і поперечних сил

Q(x) . Виконати добір балки двотаврового перерізу при [σ]=160 МПа та, користуючись епюрою згинальних моментів M (x) і умовами закріплення бал-

ки, зобразити вид пружної лінії.

Потрібно:

1.Встановити ступінь статичної невизначуваності й обрати основну сис-

тему.

2.Записати додаткове рівняння переміщення в напрямку зайвої невідомої. За бажанням студента можна скористатися табличними формулами, або методом початкових параметрів, або методом сил.

3.Знайти зайву невідому, визначити опорні реакції, перевірити їх та побудувати епюри M (x) і Q(x) .

14

4. Виконати добір поперечного перерізу. Вихідні дані обрати з табл. 7.

Рис. 7. Варіанти розрахункових схем до задачі № 7

15

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ

Задача № 1

Розрахунки на міцність та жорсткість при розтяганні стержнів з урахуванням власної ваги

Вихідні дані:

схема 2 (рис. 1); площа перерізу A=18 см2 =(18 104 ) м2; довжини ділянок: a=2,2 м, b=2,2 м, c=1 м; E =2 105 МПа=2 104 кН/см2; F =2 кН; γ=78 кН/м2 =

=78 10−5 кН/см2.

Розрахункова схема (а) та епюри зміни повздовжніх зусиль N та напружень σ у перерізах стержня (б)

Потрібно:

1.Зробити схематичний рисунок стержня за відповідними розмірами, додержуючись масштабу.

2.Скласти для кожної ділянки стержня в перерізі з поточною координатою x (0≤x≤L ) аналітичні вирази повздовжнього зусилля N(x) та нормаль-

ного напруження σ(x) з урахуванням власної ваги стержня.

3. Побудувати епюри повздовжніх зусиль N(x) та напружень σ(x) , які

виникають у точках відповідного перерізу.

4. Обчислити з урахуванням власної ваги стержня переміщення перерізу, який розміщений на відстані (a+b) від вільного кінця.

Розв’язання

1.Дотримуючись масштабу, зробимо схематичний рисунок стержня.

2.Розглянемо поступово три ділянки стержня.

На підставі методу перерізів для нижньої частини сте-

16

ржня довжиною x1 маємо

N(x1)=G1(x1)=γ 2A x1 ,

де G1(x1) – вага частини стержня довжиною х1; γ – питома вага матеріалу.

N1(0)=0 ;

N1(2,2)=78кН/м3 2 (18 10−4 )м2 2,2м=0,618 кН;

σ1(0)= N21(0)A =0 ;

σ1(2,2)= N12(2,2)A =0,6182 18 =0,0172 кН/см2 =0,172 МПа.

Друга ділянка: 0≤x2 ≤ b=2,2 м.

N2 (x2 ) = G1 +G2 (x2 ) = G1 + γ A x2 ,

де G1 – вага частини стержня довжиною a ;

G2 (x2 ) – вага частини стержня довжиною x2 ;

N2 (0)=0,618 кН;

N2 (2,2)=0,618 кН+78 кН/м3 (18 10−4 )м2 2,2м=0,618+0,309=0,927 кН; σ2 (0)= N2A(0) =0,61818 =0,0343 кН/см2 =0,343 МПа;

σ2 (2,2)= N2 (2,2)A =0,92718 =0,0515 кН/см2 =0,515 МПа.

Третя ділянка: 0≤x3 ≤ c=1 м.

N3(x3)=G1 +G2 +F +G3(x3)=G1 +G2 +F +γ A x3 ;

де G2 – вага частини стержня довжиною b;

G3(x3) – вага частини стержня довжиною x2 ;

N3(0)=0,618+0,309+2=2,927 кН;

N3(1)=2,297+78 (18 10−4 ) 1=3,067 кН;

σ3(0)= N3A(0) =2,92718 =0,163 кН/см2 =1,63 МПа;

σ3(1)= N3A(1) =3,06718 =0,170 кН/см2 =1,7 МПа.

3.Відкладемо отримані ординати зусиль та напружень на ділянках стер-

жня в масштабі й побудуємо епюри повздовжніх зусиль N та нормальних напружень σ.

4.Визначимо переміщення перерізу стержня 1-1 на відстані (x=a+b) від

вільного кінця стержня.

Переріз 1-1 буде переміщуватися за рахунок подовження частини стержня довжиною с. У такому разі зовнішнє навантаження буде дорівнювати

17

N3(0)=0,927+2=2,927 кН. Власна вага частини стержня довжиною c дорівнює G3 =γAc .

Тоді переміщення перерізу 1-1 визначимо за таким співвідношенням:

a=2,2 м, b=2,2 м, c=1 м; допустиме напруження [σ]=16 кН/см2; границя текучості σт =26 кН/см2; коефіцієнт запасу k =1,5.

Якщо скласти ще два рівняння статики, то ∑Fix =0 ; ∑Fiy =0 . Із цих рівнянь визначимо опорні реакції X0 , Y0 .

18

Порівняємо значення допустимих навантажень.

У другому випадку можливе навантаження більше на

Задача № 3

Визначення головних центральних моментів інерції плоских фігур

Вихідні дані:

схема 2; переріз складається з двох фігур (швелер, рівнобокий кутик). Геометричні характеристики:

2. Рівнобокий кутик 80×80×6

Площа перерізу A=A1 +A2 =20,7+9,38=30,08 см2 см2.

Розв’язання

Розв’язання задачі виконаємо відповідно до пп. 1-5 (с. 8).

Визначимо положення центру ваги. Приймаємо, що допоміжні осі збігаються з центральними осями швелера. У такому разі координати центру ваги перерізу відносно осей o1y1, o1z1 :

yc = A1y1 +A2 y2 =20,7 0−9,38 2,19 =−0,68 см, A 30,08

20