Динаміка

9. Предмет динаміки. Динаміка точки. Дві основні задачі динаміки точки.

9.1. Як формулюється перший закон Ньютона (закон інерції)? Другий закон Ньютона? Третій закон Ньютона (про дію та протидію)?

9.2. Який вигляд має основне рівняння динаміки точкиу векторній формі?

9.3. Який вигляд має основне рівняння динаміки точкив проекціях на координатні осі (в плоскій системі координатxОy)?

9.4. Який вигляд мають диференціальні рівняння руху точкив проекціях на координатні осі (в плоскій системі координатxОy)?

9.5. Як формулюється перша задачадинаміки точки?

9.6. Як формулюється друга задачадинаміки точки?

9.7. За яким правилом обчислюється роботасталоїсили, що прикладена до точки, яка переміщується?

9.8. В яких випадках робота сили дорівнює нулю? Більше нуля? Менше нуля?

9.9. За яким правилом обчислюєтьсяроботасталогомоменту сили (моменту пари), що прикладена до тіла, яке обертається?

10. Динаміка твердого тіла та системи тіл. Теорема про зміну кінетичної енергії системи.

10.1. За якою формулою обчислюється момент інерції точки відносно осі ?

10.2. За якою формулою обчислюється момент інерції тіла відносно осі (в загальному випадку)? Що характеризує осьовий момент інерції тіла?

10.3. За якою формулою обчислюється момент інерції суцільного однорідного диска відносно центральної осі?

10.4. За якою формулою обчислюється момент інерції ступінчастого диска відносно центральної осі?

10.5. За якою формулою обчислюється момент інерції тонкого кільця відносно центральної осі?

10.6. Який вигляд має рівняння динаміки обертального руху тіла навколо осі ? Як при цьому визначається кутове прискорення тіла?

10.7. За якою формулою обчислюється кінетична енергія точки?

10.8. За якою формулою обчислюється кінетична енергія тіла в поступальному русі?

10.9. За якою формулою обчислюється кінетична енергія тіла в обертальному русі?

10.10.Як формулюється теорема про зміну кінетичної енергії системи з ідеальними в’язями? Який математичний вираз представляє цю теорему?

2. Приклади розв’язання тестових завдань

2.1. Статика. Рівновага тіла під дією плоскої довільної системи сил

Приклад 1(рис. 1, 2). Вказати правильне рівняння рівноваги ().

Рис. 1	Рис. 2

Якщо схема навантаження конструкції відповідає рис. 1, а схема діючих сил (активних і реакцій опор) – рис. 2, то рівняння рівноваги цієї конструкції – сума проекцій усіх сил на вісь дорівнює нулю – має вигляд:

1) ;;

2) ;;

3) ;.

Розв’язання. У цьому прикладі з трьох наведених відповідей треба вказати правильну відповідь (правильне рівняння рівноваги).

Примітка. Слід зауважити, що в даному випадку конструкція закріплена в точці за допомогою жорсткого защемлення; тому на конструкцію крім активного навантаження − сил, пари сил з моментом − діє ще реакція жорсткого защемлення, яка складається з трьох елементів − двох сил та пари сил з моментом .

Пригадаємо спочатку правило, як визначити проекцію вектора сили на координатну вісь (рис. 3). Проекція сили на вісьце скалярна величина, яка характеризується числом і знаком. Величину проекціїрекомендується обчислювати як добуток модуля сили на косинус гострого кута між силою і віссю, а знак проекції визначати за додатковим правилом.

Рис. 3	Рис. 4

За додаткове можна прийняти наступне правило: якщо вектор сили утворює гострий кутздодатним напрямком осі, то знак беруть плюс («+»), якщо ж звід’ємним – то мінус («−»).

В окремих випадках (рис. 4) проекція сили на вісь визначається таким чином: якщо сила спрямована паралельнодо осі, то вона проектується на вісь унатуральну величинуз відповідним знаком; якщо ж сила спрямованаперпендикулярнодо осі, то вона проектується на вісь уточку, тобто проекція дорівнюєнулю.

Розберемо детально, як записати проекції сил, що зображені на рис. 2, на вісь .

Сила спрямована перпендикулярно до осі, тому проектується на цю вісь у точку, тобто проекція силина вісьдорівнює нулю.

Сила спрямована паралельно осі і проектується на вісь у натуральну величину зі знаком плюс, оскільки спрямована в додатному напрямку осі.

Сила теж спрямована паралельно до осі, але проектується на вісь у натуральну величину зі знаком мінус, оскільки спрямована у від’ємному напрямку осі.

Сила створює з напрямком осі гострий кут 40º. Тому величина її проекції на вісь може бути записана як добуток модуля сили накосинус цьогокута(). Оскільки гострий кут 40º силаутворює з додатним напрямком осі, то знак проекції буде плюс; цей факт підтверджує також складова сила (рис. 7) , яка спрямована в додатному напрямку осі.

Примітка. Слід підкреслити, що на конструкцію окрім зосереджених сил діють ще пари сил з моментамиі. Пара сил − це система двох сил, рівних за величиною, протилежних за напрямком і не розташованих на одній прямій (рис. 5,а). Основною характеристикою дії пари на абсолютно тверде тіло є її момент, який дорівнює добутку модуля однієї з сил пари на плече пари (рис. 5,б). Оскільки сума проекцій сил, що утворюють пару, на будь-яку вісь дорівнює нулю (рис. 5,а), то проекції цих сил у рівняннях проекцій не фігурують. Наявність позначеньіу рівняннях проекцій вказує на помилку.

Рис. 5

Таким чином, із трьох рівнянь проекцій, що наведені у відповідях прикладу, правильним буде рівняння 2).

Приклад 2 (рис. 1, 2). Вказати правильне рівняння рівноваги ().

Якщо схема навантаження конструкції ABCDвідповідає рис. 1, а схема діючих сил (активних і реакцій опор) – рис. 2, то рівняння рівноваги цієї конструкції – сума моментів усіх сил відносно центрадорівнює нулю – має вигляд:

1) ;;

2) ;;

3) ;.

Розв’язання. Щоб розібратися, яке з трьох наведених рівнянь правильне, треба пригадати (рис.6) правило визначення величини і знака моменту сили відносно центра (точки).

Величина моменту визначається як добуток модуля сили на плече сили h (див. рис. 6, а), де плече – це найкоротша відстань від центра до лінії дії сили. Будується плече як перпендикуляр, що опускають із центра на лінію дії сили. Знак моменту в тестових завданнях треба брати за традиційним правилом знаків: якщо сила намагається повернути тіло навколо центра проти годинникової стрілки, то беруть знак плюс («+»), якщо за годинниковою стрілкою – то мінус («−»).

Рис. 6

Примітка. Треба зауважити, що існує окремий випадок, коли сила не створює моменту відносно центра. Цей факт спостерігається тоді, коли центр розташований на лінії дії сили (лінія дії сили проходить через центр); тоді відстань від центра до лінії дії сили дорівнює нулю, тобтоплече сили дорівнює нулю,а значить, імомент сили відносно центра дорівнює нулю. Такий випадок наведено на рис. 6,б. Тут лінія дії сили проходить через точкуО і момент цієї сили відносно точкиО дорівнює нулю.

Отже, розберемо детально, які моменти створюють сили, що зображені на рис. 2, відносно центра (точки).

Сили іпроходять через точкуі моментів відносно точкине створюють.

Сила створює момент відносно центра з плечем і знаком мінус, оскільки намагається повернути конструкцію навколо точки за годинниковою стрілкою ().

Плече сили відносно центравизначати незручно; зручніше цю силу розкласти на складові вектори і(рис. 7) і для визначення її момента відносно центраАскористуватися теоремою Варіньона: момент рівнодіючої плоскої збіжної системи сил відносно центра дорівнює алгебраїчній сумі моментів складових сил відносно того ж центра.

Тоді ,

де,а.

Складова сила створює момент відносно центра з плечемі знаком мінус, оскільки намагається повернути конструкцію навколо точки за годинниковою стрілкою (). Плече в рівнянні можна замінити на рівний йому відрізок, який являє собою один з розмірів конструкції (). Складова сила створює момент відносно центра з плечемі знаком плюс, оскільки намагається повернути конструкцію навколо точки проти годинникової стрілки ().

Моменти двох пар, що діють на конструкцію, записуються в рівняння моментів зі своїми знаками: ;.

Таким чином, із трьох рівнянь моментів, що наведені у відповідях прикладу, правильним буде рівняння 3).