2) Если то (II.V)

Коэффициенты инаходят аналогично коэффициентамЕсли в функциювходит толькоили, в частное решение надо включать оба слагаемых.

На основании теоремы 1 общее решение неоднородного уравнения складывается из общего решения однородного (теорема 2) и частного неоднородного (теорема 3).

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Общее решение данного уравнения имеет вид где– общее решение соответствующего однородного уравнения а – частное решение данного неоднородного уравнения. Решая характеристическое уравнение, найдем его корни:. По формуле (II.II):

_{Найдем частное решение неоднородного уравнения с правой частью:} По формуле (II.IV) коэффициенты А и В подлежат определению из условия, что решение данного уравнения. Находим производные:

подстановка ,ив уравнение дает (после сокращения на):

т.е. Для того, чтобы равенство было верным, достаточно совпадения коэффициентов при одних и тех же степеняхв обеих частях равенства:

Из этих уравнений находим А=1, В=2. Следовательно, функция является частным решением данного уравнения, а функция

его общим решением.

Пример 2. Найти общее решение уравнения:

Решение. Характеристическое уравнение: . Его корни: По формуле (II.I): .

Вид правой части здесь такой же, как в примере 5, но поэтомуСледовательно,

Подстановка в уравнение, сокращение на дает: ,;,. Тогда:

Общее решение данного уравнения :

Пример 3. Найти общее решение уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение: Его корни:Общее решение однородного уравнения:Правая часть исходного уравнения:Частное решение найдем по формуле (II.IV):

Подставим в исходное уравнение: . Тогда.

Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Характеристическое уравнение имеет корни. По формуле (II.III):

по формуле (II.V):

Подстановка в дифференциальное уравнение дает: Для того чтобы это равенство выполнялось, достаточно совпадения коэффициентов прив обеих частях равенства:

Решая систему, получим Тогда частное решение неоднородного уравнения:и общее решение данного уравнения

§ 3. Кратные и криволинейные интегралы

1. Двойные интегралы

1. Общие понятия

Пусть в плоской двумерной плоскости D определена функция двух переменных z=f(x;y). Аналогично одномерному случаю строится n-ая интегральная сумма и предел последовательности интегральных сумм при n→∞ называется двойным интегралом. В прямоугольных координатах двойной интеграл записывается в виде:

Свойства двойного интеграла такие же, как свойства определенного интеграла.

Вычисление двойного интеграла сводится к повторному интегрированию. Рассмотрим два основных вида области интегрирования.

1. Область интегрированияD ограничена слева и справа прямыми x=a и x=b (a<b), а снизу и сверху – непрерывными кривыми y=φ₁(x) и y=φ₂(x), φ₁(x)≤φ₂(x), каждая из которых пересекается вертикальной прямой только в одной точке.

Для такой области двойной интеграл вычисляется по формуле:

, (I)

причем сначала вычисляется внутренний интеграл, в котором х считается постоянной.

2. 

(II)

Сначала вычисляется внутренний интеграл, в котором y считается постоянной.

В более общем случае, область интегрирования разбивается на части вида 1 или вида 2.