2. Уравнения вида

Решение такого уравнения находится интегрированием n раз.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения Решение.

3. Уравнения второго порядка, не содержащие искомой функции

Порядок такого уравнения можно понизить. Полагаем тогда. Для нахожденияимеем уравнение первого порядка

Пусть его общее решение или. Проинтегрировав, получим общее решение данного уравнения:

Пример. Найти частное решение уравнения если

Решение. Данное уравнение – уравнение, не содержащее искомой функции. Положим , тогдаи уравнение примет вид: Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными: Возвращаясь к первоначальной функции, получим уравнение первого порядка , из которого следуетили.

Подберем итак, чтобы выполнились начальные условия. Посколькуипри, тот.е., т.е.Искомое частное решение имеет вид

4. Уравнения второго порядка, не содержащие независимой переменной

Уравнение приводится к уравнению первого порядка, если положить а за новый аргумент принять. В этом случае, и порядок уравнения понизился:

Если его общее решение , т.е., то, разделяя переменные и интегрируя, найдем:

Пример. Проинтегрировать уравнение .

Решение. Понизим порядок этого уравнения, , тогдаи получаемили. Это дифференциальное уравнение распадается на два:и. Первое из них дает, т.е.. Во втором переменные разделяются:, откуда или т.е.Вновь разделяя переменные, получимПосле интегрирования получимили. Общее решение можно записать в виде.

Отметим, что найденное выше решение содержится в общем решении, так как получается из него при.

5. Линейные уравнения второго порядка

1. Основные понятия.

Линейными дифференциальными уравнениями второго порядка называются уравнения вида

(I)

функции ,,непрерывны в некотором промежутке.

Уравнение (I) называется линейным неоднородным или уравнением с правой частью, если . Если, то уравнение называется линейнымоднородным.

Однородное уравнение с той же левой частью, что и данное неоднородное, называется соответствующим ему.

Теорема 1. Общее решение линейного неоднородного уравнения складывается из общего решения соответствующего ему однородного уравнения и частного решения неоднородного:

_{Ограничимся рассмотрением линейных уравнений с постоянными коэффициентами, которые широко используются в механике, электротехнике.}

2. Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами имеет вид: , (II)

где – вещественные числа.

Характеристическим уравнением называется уравнение , его корнии. Характеристическое уравнение получают заменойв данном линейном однородном уравнении.

Теорема 2. 1) Если корни характеристического уравнения вещественные различные и, то общее решение однородного уравнения

, (II.I)

2) если ==, то

, (II.II)

3) если корни комлексно-сопряженные то

(II.III)

Пример 1. Найти общее решение .

Решение. Составим характеристическое уравнение ;;, по (II.I) имеем .

Пример 2. Найти частное решение уравнения , если;.

Решение. По (II.II) общее решение Выбираемитак, чтобы выполнялись начальные условия:;;;;. Подставив найденныеив общее решение, получим искомое частное решение:.

Пример 3. Найти общее решение .

Решение. ;по (II.III) имеем общее решение:

Пример 4. Найти общее решение уравнения гармонических колебаний .

Решение. по (II.III) общее решение

3. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами . Подбор частного решения методом неопределенных коэффициентов

Этот метод, наиболее важный для приложений, применим только в том случае, когда правая часть уравнения имеет вид квазиполинома:

где и– действительные числа,и– многочлены степенейи.

Теорема 3. Частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения следует искать в виде

1) если то (II.IV)

где – многочлены с неопределенными коэффициентами степени, записываются так:и т.д. Чтобы найти неопределенные коэффициенты, нужно частное решениеподставить в заданное уравнение.