5. Интегрирование рациональных дробей
Рациональной дробью называется отношение двух многочленов
.
Рациональная
дробь называется правильной,
если степень многочлена
ниже степени многочлена
;
в противном случае дробь называетсянеправильной.
Если дробь неправильная, то следует выделить целую часть, т.е. представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби.
Простейшими дробями называют правильные дроби четырех видов:
В случаях III и IV квадратный трехчлен не имеет действительных корней.
Интегрированию дробей III типа посвящен предыдущий пункт.
Любую правильную дробь можно разложить на сумму простейших дробей. Для этого знаменатель раскладывают на линейные и квадратичные множители так, чтобы квадратичные не имели вещественных корней.
Рассмотрим три важных случая.
1.
раскладывается на линейные различные
множители. Дробь представима в виде
суммыn
простейших дробей 1 типа.
2. Каждому линейному множителю кратности k, соответствует (k-1) дробей 2 типа и одна дробь 1 типа
3. Каждому
квадратичному множителю
соответствует дробьIII
типа
Коэффициенты
находятся из условия, что равенства
являются тождественными.
Случай, когда знаменатель содержит квадратичные кратные множители, мы не рассматриваем.
Пример
1. Найти интеграл
Решение. Под знаком интеграла неправильная дробь. Выделим целую часть, разделив числитель дроби на знаменатель:
Следовательно,
–
Пример
2. Найти интеграл
Решение. Подынтегральная функция – правильная дробь. Представим ее в виде суммы простейших дробей
(1)
Найдем
коэффициенты разложения методом частных
значений. Полагая в полученном тождестве
вместо
значения:
0, 1, 2, получим
Подставив в равенство (1) найденные значения коэффициентов, имеем:
Пример
3. Найти интеграл
Решение.
Приравнивая
коэффициенты при
получаем:
Пример
4. Найти
интеграл
Решение.
.
Приводя правую
часть к общему знаменателю и приравнивая
числители, получим:
.
Комбинируя методы частных значений и сравнивая коэффициенты, найдем:
.
6. Интегрирование тригонометрических функций
1.
Интегралы вида
Если хотя бы одно из чисел
или
целое нечетное
положительное число, то отделяя от
нечетной степени один сомножитель и
выражая с помощью формулы
оставшуюся четную степень, приходим к табличному интегралу.
Пример
1. Найти интеграл
Решение.
Пример
2. Найти интеграл
Решение.
2.
Если
и
–
четные неотрицательные числа, то
используют формулы понижения степени:
Пример
3. Найти интеграл
Решение.
3.
Для отыскания интегралов вида
,
,
используют следующие формулы:
Пример
4. Найти интеграл
Решение.
4
где
используются формулы
;
;
;
.
Пример
5. Найти интеграл
Решение.
.
7. Метод интегрирования по частям
Если
и
дифференцируемые функции, то справедлива
формула
которая называется «формулой интегрирования по частям».
Типичные интегралы, которые вычисляются по этой формуле, следующие.
1.
и
,
где
многочлен степениn.
Целесообразно положить
оставшуюся часть принять за
.
Пример
1. Найти интеграл
Решение.
Пример
2. Найти интеграл
Решение.
Из этих примеров видно, что интегрирование по частям можно применять несколько раз.
2.
;
и т.п.
Здесь полагаем
(или
,
или
).
Пример
3. Найти интеграл
Решение.
