МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Тюменский государственный нефтегазовый университет»
Технологический институт
кафедра высшей математики
Математика
3 Семестр
методические указания
к практическим занятиям
по математике
для студентов всех специальностей
заочной формы обучения
Тюмень 2007
Утверждено редакционно-издательским советом
Тюменского государственного нефтегазового университета
Составители: Кораблева Р.Г., доцент,
Осинцева М.А., ассистент,
Скоробогатова Н.В., ассистент.
© государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Тюменский государственный нефтегазовый университет»
2007
Неопределенный и определенный интегралы. Дифференциальные уравнения. Кратные и криволинейные интегралы
§ 1. Неопределенный и определенный интегралы
1. Первообразная и неопределенный интеграл
Функция
называется
первообразной
для функции
на множествеX,
если
для всех
.
Совокупность всех
первообразных для функции
называетсянеопределенным
интегралом
от этой функции и обозначается
.
Таким образом, по определению
,
гдеС –
произвольная постоянная.
Свойства неопределенного интеграла
Правильность
результата интегрирования проверяется
дифференцированием первообразной:
Таблица основных интегралов
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
2. Метод непосредственного интегрирования
Суть метода состоит в том, чтобы с помощью свойств интегралов и тождественных алгебраических преобразований подынтегрального выражения привести данный интеграл к табличному.
Пример
1. Найти
интеграл
Решение. Числитель почленно разделим на x. Применим 2 свойство неопределенного интеграла и формулы 1 и 2 таблицы интегралов.
Пример
2. Найти
интеграл
Решение. Воспользуемся свойствами 2 и 3 и применим формулы 4 и 5 таблицы неопределенных интегралов.
Пример
3. Найти
интеграл
Решение.
3. Интегрирование методом подведения функции под знак дифференциала
Подведение под знак дифференциала выражения вида
При нахождении
интегралов
используется равенство
.
Интеграл принимает вид:
.
Пример1.
Найти интеграл
Решение.
Воспользовались
формулой 6, где
.
Пример2.
Найти интеграл
Решение.
2. Подведение функции под знак дифференциала
Пример1.
Найти интеграл
Решение.
Выполняется равенство
.
В данном интеграле вместо
запишем 
и применим формулу 5, где
:
Пример2.
Найти интеграл
Решение.
Подведем
под знак дифференциала функцию
.
Найдем дифференциал от этой функции:
.
В данном интеграле сделаем замену
:
В последнем
интеграле воспользовались формулой 1,
где
.
4. Интегралы
сводятся к табличным интегралам следующим приёмом.
В числителе выделяем производную квадратного трёхчлена
.
Тогда
.
В знаменателе второго интеграла выделяют полный квадрат и используют формулы 7 или 8.
Если в знаменателе
корень из квадратного трёхчлена, то
аналогичные преобразования приведут
к интегралам типа
и использованию формул 9 или 10.
Пример
1. Найти интеграл
Решение. В знаменателе подынтегральной функции выделим полный квадрат и по формуле 7 получим:
Пример
2. Найти интеграл
Решение.
Выделим в числителе производную
квадратного трёхчлена:
,
Получим:
