Логика для студентов / anisov_a_m_sovremennaya_logika

сти, что если в качестве перевода утверждения (4) были предложены два варианта (4.2) и (4.3) и при этом верно (4.2) ↔ (4.3), то приемлемость одного варианта влечет приемлемость другого, и наоборот.

Другой вопрос, что в некоторых случаях смысл исходного высказывания неясен, вследствие чего могут предлагаться неэквивалентные варианты переводов на язык логики предикатов. Например, мы легко справимся с переводом высказывания

(5) Никто не знает всего, но не с близким ему по смыслу

(6) Никто не знает вс¸ до конца.

Действительно, в качестве перевода (5) напрашивается (5.1) ←õ y(Ç(õ, y))

(Не существует объекта х, который знает любой объект y.) Но что означает «знать вс¸ до конца»? Поскольку все наши рассуждения (как мы условились) «привязаны» к некоторому универсуму объектов и поскольку мы можем представлять себе объекты универсума выстроенными в ряд, то это может озна- чать, что некто знает все объекты универсума – от первого до последнего, от начала универсума до его конца (например, знать ответы на все вопросы к экзамену). В таком случае переводом

(6) будет высказывание (5.1). Но с тем же основанием можно считать, что смысл «знать до конца» заключается в том, что знание об объекте может иметь степени. Например, экзаменаторы говорят, что «студент слабо знает предмет» или что «студент продемонстрировал хорошее знание вопроса» и т.п. При таком понимании «знать до конца» означает полное знание объекта (например, знать каждый экзаменационный вопрос на «отлич- но»). В этом случае отношение «знает» понимается не как двухместное, а как трехместное: х знает y до z (или х знает y на z – предлоги здесь не существенны). Пусть, для определенности, знания объекта оцениваются по 5-бальной шкале – от полного незнания (1), до полного понимания сути дела (5). Тогда переводом (6) будет

(6.1) ←õ y(Ç(õ, y, 5).

Высказывания (5.1) и (6.1) не эквивалентны. Действительно, одно дело, когда ни один из сдающих экзамены студентов не знает ответы на все вопросы, и другое – когда ни один из студентов не знает все вопросы «на пять». Если никто не знает вс¸ на «отлично», то отсюда не следует, что никто не знает вс¸ хотя бы на «удовлетворительно».

191

Как видим, логика предикатов позволяет различать тонкие оттенки смысла утверждений естественного языка. Вместе с тем, при логическом переводе теряется эмоциональное отношение говорящего к предмету обсуждения (конечно, высказывание (5) не просто констатирует факт, но и выражает эмоциональное к нему отношение).

Уяснив в первом приближении условия истинности и ложности формул логики предикатов, зададимся вопросом: существуют ли в ней законы, противоречия и фактуальные высказывания, есть ли здесь отношение логического следования? Да, вс¸ это существует, но понимание этих категорий усложняется. Исследовать семантические характеристики формулы А не так то просто. Не можем же мы перебрать бесконечный класс всевозможных универсумов и проверить все варианты определений входящих в А отношений.

Существует другой, более удобный на практике способ установления логических законов и наличия отношения логического следования. Подобно тому, как в логике высказываний вместо построения таблиц истинности можно было воспользоваться правилами вывода, так и в логике предикатов вместо конструирования и проверки различных отношений между объектами универсумов можно применять правила вывода. Однако в логике высказываний семантика была проще синтаксиса. Согласитесь, что в ней легче было построить таблицу истинности, чем осуществить требуемый вывод. В логике предикатов дело обстоит прямо противоположным образом. Синтаксис здесь проще семантики. Поэтому в заключительном параграфе данной главы мы предъявим полную систему правил, позволяющую вывести любой логический закон или в каждом случае установить наличие логического следования между высказываниями чисто синтаксическими средствами.

§5. Определение понятий

С понятиями можно осуществлять различного рода операции, самой известной из которых является операция определения. Фактически, мы уже много раз применяли эту операцию по ходу изложения. Различия между высказываниями и понятиями проявляются в допустимых способах обращения с ними.

192

Уже указывалось, что истинностная оценка осмыслена в случае высказываний и бессмысленна в случае понятий. Зато понятия можно определять и проводить с ними другие операции (о которых речь впереди), которые неприменимы для высказываний.

Рассмотрение операций с понятиями начнем с операции определения. Определить понятие – это значит указать его денотат. Сказанное нуждается в уточнении. Прежде всего, понятия выражают в языке свойства или отношения. Простейший способ определения понятий состоит в перечислении всех тех

объектов, которые обладают данным свойством или находятся в

данном отношении.

Например, определить понятие числа, меньшего 10 на универсуме целых положительных чисел легко. Денотатом свойства (х < 10) на этом универсуме будет множество {1, 2, 3, ..., 9}. Или возьм¸м понятие «Студенты первого курса философского факультета ГУГН 2001-2002 учебного года» (в логической форме

Студент первого курса философского факультета ГУГН 2001-2002 учебного года(х)). Определение этого понятия да¸тся предъявлением соответствующего списка.

Существует иной путь определения понятий, когда указа-

ние на денотат осуществляется посредством сведения определяе-

мого понятия к другим понятиям, денотаты которых уже известны. Этот путь наиболее широко используется на практике. Когда мы да¸м определение понятию «дромедар» посредством указания, что дромедар – это одногорбый верблюд, то имело место сведение определяемого понятия к понятиям «верблюд» и «одногорбый». Аналогичным образом, понятие пневмония определяется через словосочетание острое воспаление легких, что сводит определяемое понятие «пневмония» к понятиям «легкие» и «острое воспаление». Количество примером вы без труда умножите самостоятельно.

Рассматриваемый вид определений имеет следующую форму.

(*)Определяемое понятие ↔ Определяющие понятия

Здесь символ «↔ » означает Df .

эквивалентно по определению

Df

Рассмотрим еще одно определение данной формы.

Брудерация – выращивание цыплят с помощью брудера. Здесь тоже имеет место сведение определяемого понятия к

определяющим, однако для человека, несведущего в птицеводстве, останется непонятным, о каких объектах идет речь. Очевидно, ему по-прежнему будет неясно, что такой «брудер». Оказывается,

193

Брудер – специальный отопительный прибор для

выращивания цыплят, выведенных в инкубаторе.

Если все еще остаются неясности, может потребоваться еще одно определение.

Инкубатор – аппарат для искусственного вывода

птенцов из яиц (без наседок).

Теперь, мы надеемся, для каждого вс¸ более или менее ясно. (Отметим, что в определениях в естественном языке вместо знака ↔ используется обычное тире.)

Df

Данный пример показывает, что уяснение неизвестного понятия может потребовать многократного его сведения к другим понятиям через серию определений формы (*), пока дело не дойдет до известных понятий, уже не нуждающихся в определениях. Правда, можно притворяться, что вы не знаете, кого называют птенцом и что такое яйцо. Конечно, с точки зрения биологии эти понятия нуждаются в уточнении. Но эти уточнения не имеют отношения к вопросу о том, что такое инкубатор. Ведь в противном случае любой вопрос об определении можно завести в тупик, до бесконечности требуя вс¸ новых и новых сведений. Другое дело, если понятия из определяющей части (расположенной справа от знака ↔ ) действительно вам неизвестны. Тут тре-

Df

бование нового определения становится законным.

Если понятие имеет вид R(х , ..., х ), то можно уточнить

Приведем примеры определений формы (**). Вначале дадим определение понятию «х>у» («х больше у»), заданному на универсуме целых положительных чисел N+.

(õ > ó) ↔ ( z(õ – z = ó))

Df

Очевидно, что здесь понятие «больше» сводится посредством определения к понятиям «равно» и «вычитание», которые предполагаются известными. Обратите внимание: в определяющей части (справа от знака ↔ ) содержатся в точности те же самые свобод-

Df ↔

ные переменные, что и в определяемой части (слева от знака ).

Df

Дадим определение понятию «цвет радуги».

Цвет радуги(х) ↔ (Красный (х) Оранжевый(х)

Df

Ж¸лтый(х) Зел¸ный(х) Голубой(х)

Синий(х) Фиолетовый(х))

194

Разберем следующее определение понятия «наименьшее число».

Наименьшее число(х) ↔ y(х ≠ y → y > х)

≠ Df

(Здесь понятие х y можно ввести следующим простым определением:

õ ≠ y ↔ ¬(õ = y).)

Df

Действительно, х будет наименьшим числом, если для любого другого (отличного от х) числа y выполняется неравенство y > х (т.е. любое другое число больше х).

На этом примере можно показать, что результат определе-

ния, т.е. денотат определяемого понятия, зависит от универсума

рассуждений. В универсуме положительных целых чисел N+ денотат понятия Наименьшее число(х) является непустой совокупностью {1}. Однако это же понятие пусто на универсуме отрицательных целых чисел (среди которых, как известно, нет наименьшего).

Попробуем нарушить требование о том, чтобы справа от ↔

Df

не содержалось свободных переменных, отсутствующих слева.

Наименьшее число(х) ↔ (х ≠ y → y > х)

Df

Вместо неизвестных переменных х и y можно подставлять любые значения из универсума объектов. Пусть, например, х = 5 и y = 10. Поскольку 5 ≠ 10 и 10 > 5, получаем, что 5 – наименьшее число, к чему мы отнюдь не стремились. С другой стороны, согласно первому определению, для того чтобы быть наименьшим, 5 должно быть меньше любого другого числа. Но, например, 5 > 4, так что по первому определению 5 не является наименьшим, что нам и требовалось. Таким образом, отбрасывание квантора общности привело к появлению «незаконной» свободной переменной и «порче» определения.

Количество свободных переменных справа от знака ↔ мо-

Df

жет быть меньше, чем число свободных переменных слева от этого знака. В качестве примера определим свойство Q(х) через свойство Р(у) следующим образом.

Q(õ) ↔ óÐ(ó)

Df ↔

Здесь свободные переменные справа от вообще отсут-

Df

ствуют. Но такое определение не бессмысленно. Его суть в том, что если всякий объект универсума обладает свойством Р, то в соответствии с определением, всякий объект универсума обладает и свойством Q, т.е. если уР(у) истинно, то и хQ(х) будет истинно. Но если высказывание уР(у) ложно, даже если при этом для некоторого объекта с высказывание Р(с) истинно (тем самым истинно хР(х)), высказывание Q(с) будет ложно, и бо-

195

лее того, утверждение хQ(х) (не говоря уже о хQ(х)) будет ложным. Иными словами, если свойство Р универсально (т.е. совпадает с универсумом), то универсально и свойство Q. Если же Р не универсально, то Q пусто. (Разберите самостоятельно смысл определения вида Q(х) ↔ óÐ(ó)).

Df

§6. Определение объектов

Выше была разобрана операция определения применительно к свойствам и отношениям, т.е. к понятиям. Но, с позиции логики, мир членится не только на свойства и отношения. Столь же фундаментальным образованием в схеме членения универсума являются индивидуальные объекты. Применительно к индивидам также возникает вопрос о способах их определения.

Простейший способ определить индивидуальный объект дают так называемые остенсивные определения, суть которых состоит в простом указании на определяемый объект (например, при помощи пальца) с последующим произнесением имени, присваиваемого объекту.

Именно с помощью остенсивных определений маленьких детей учат обозначать различного рода вещи при помощи слов. Но познавательная роль остенсивных определений на самом деле гораздо шире. Зачастую в эмпирических или описательных науках нет лучшего способа знакомства с объектом, чем его остенсивное определение, с успехом заменяющее длинные и мало вразумительные описания. Так, в медицине при обучению распознаванию симптомов болезней большего эффекта в обучении можно добиться, если указать типичные примеры желтухи, цианоза, акромегалии или олигофрении, чем давать этим явлениям словесные определения.

Правда, за пределами конкретных вещей и явлений значе- ние остенсивных определений резко падает. Ни один абстрактный объект не может быть определен таким образом. Поэтому ошибался древне греческий философ Кратил, который считал вещи настолько изменчивыми, что предлагал не давать им постоянные имена, а только указывать на них пальцем. На недоступные восприятию объекты пальцем не укажешь – здесь нужны иные методы определения.

Для того, чтобы определить абстрактный объект, необходимо прежде удостовериться, что он существует. Ведь если в рамках данной теории этот объект не существует или он вообще

196

противоречив, то просто не о чем говорить и нечему давать определение. Далее, если искомый объект существует, необходимо убедиться в его единственности. В противном случае, т.е. если мы имеем дело с несколькими объектами, целесообразнее определить понятие о данном ряде объектов, а не пытаться определять только один из них.

Условие существования и единственности означает следующее. Допустим, верно хА(х) (тем самым объект х, обладающий свойством А, существует). Теперь надо попытаться доказать, что

(!) õ ó((À(õ) & À(ó)) → (х = у)). Действительно, смысл утверждения (!) в том, что любые

объекты х и у, если оба они удовлетворяют условию А, то они оказываются равны между собой. Но это и означает, что имеется только один объект, удовлетворяющий условию А. При нали- чии доказательства истинности высказывания о единственности

(!) и высказывания о существовании хА(х) в логике используют более краткую запись: !хА(х). Иными словами, мы принимаем следующее определение формулы вида !хА(х).

!õÀ(õ) ↔ õÀ(õ) & õ ó((À(õ) & À(ó)) → (õ = ó))

Df

В результате определ¸н новый квантор « !», который про- читывается как «Существует и при том единственный». Если доказано, что !хА(х), то тогда мы можем ввести в наш язык новое имя того самого единственного объекта, который существует и один среди всех объектов удовлетворяет условию А.

Вернемся к определению понятия «Наименьшее число», определенному на универсуме положительных целых чисел N+.

Наименьшее число(х) ↔ y(õ ≠ y → y > õ)

Df

Каждый, знакомый со школьной арифметикой, согласится, что в рассматриваемом универсуме такое наименьшее число существует. Будет ли оно единственным? Очевидно, будет, поскольку в противном случае имели бы два различных неотрицательных целых числа с и d таких, что (согласно определению) верно y( с ≠ y → y > с) и верно y(d ≠ y → y > d). Но раз эти утверждения верны для всех чисел универсума, то они верны и для d и с. Поэтому имеем: с ≠ d → d > ñ. Ò.ê. ñ ≠ d по предположению, по modus ponens получаем: d > с. С другой стороны, должно быть истинно d ≠ ñ → с > d. Т.к. с и d неравны, вновь по modus ponens получаем: с > d. Однако, согласно определению понятия (х > у) (все в том же универсуме положительных целых чисел)

(õ > ó) ↔ ( z(õ = ó + z))

Df

197

имеем, что из х > у следует ¬(у > х). Поэтому не может быть, чтобы выполнялось и с > d, и d > с, но именно к такому выводу мы пришли раньше. Следовательно, предположение о существовании двух различных наименьших чисел привело к противоре- чию. Отсюда вывод: наименьшее число в рассматриваемом универсуме единственное.

Итак, верно !хНаименьшее число(х). Теперь мы имеем право определить конкретный объект, являющийся наименьшим числом в универсуме положительных целых чисел N+. В соответствии с традицией, присвоим этому объекту имя «1». В результате имеем истинное (в универсуме N+) высказывание y(1 ≠ y → y > 1).

Располагая каким-либо именем, всегда можно ввести ещ¸ одно имя того же самого индивида. Делается это при помощи знака = , означающего «равно по определению». Например,

Df

применяя операцию сложения к 1, получим имя нового числа: 1 + 1. Как коротко обозначить это число? В арабской символике принимают 1 + 1 = 2. В римской нотации наименьшее

Df

целое положительное число обозначается через I, а I + I = II.

Df

Клички также присваиваются этим способом. Так, подыскивая В.И.Ульянову партийную кличку, выбрали новое имя «Ленин»: В.И.Ульянов = Ленин.

Df

§7. Номинальные и реальные определения

Традиционные логики думали, что определения призваны вскрывать так называемую сущность слов. В этой связи тратились колоссальные усилия на поиск определений, способных ухватить эту самую сущность. Об этом уже шла речь в начале книги. В этих претензиях отсутствует понимание того, что операция определения имеет по преимуществу служебный характер, подчиненный задачам и целям теоретического исследования. Игнорируя этот вывод современной логической науки, многие научные работники продолжают по старинке заниматься поиском скрытой сущности, якобы заключенной в словах и подлежащей раскрытию посредством удачного определения.

Имеется и противоположная позиция, согласно которой определение должно быть всего лишь формально правильным, но не должно претендовать на выделение существенных сторон

198

в определяемом понятии. С такой точки зрения, понятия – это всего лишь слова, которые можно определить так, как это нам хочется. Например, такое определение как «Человек – это животное с мягкой мочкой уха» формально выделяет класс людей среди прочих объектов мира и потому ничуть не хуже, а, быть может, и лучше определений, направленных на поиск мнимой сущности понятия человек.

Различие между двумя описанными позициями хорошо иллюстрирует следующее замечание. Поставим вопрос: как нужно читать определения? Согласно первой позиции, читать определения необходимо слева направо: сначала (слева) скрытая в понятии сущность, подлежащая определению, затем (справа) – само определение, раскрывающее сущность. Вторая позиция предполагает чтение определений справа налево: сначала (справа) чи- таем определяющую и, как правило, длинную часть, затем (слева) смотрим, какое более короткое слово будет служить сокращением длинной части.

С такой точки зрения, определения понятий являются всего лишь сокращениями чрезмерно длинных выражений, которыми неудобно (в силу этого обстоятельства) пользоваться на практике. Действительно, рассуждают сторонники рассматриваемой позиции, разве в определении «Квадрат – это четырехугольник, у которого все стороны равны, а углы прямые» содержится чтолибо новое, если нам уже известно, что такое четырехугольник, прямой угол и равные стороны? Просто мы вводим особое словечко «квадрат» для сокращения соответствующего длинного выражения. Но введение нового слова не прибавляет нам принципиально новых знаний.

Сторонники первой позиции считают операцию определения реально выявляющей таинственную сущность понятий. С их точки зрения, мы должны поэтому давать реальные определения, т.е. определения, выявляющие реальные сущности. Противоположная сторона настаивает на том, что еще не определенные слова – это своего рода пустые оболочки, которые можно наполнить любым содержанием (вспомним поговорку: «Назови хоть горшком, только в печь не ставь»). С такой точки зрения, операция определения касается только произвольного выбора символа для обозначения какого-либо денотата, и поэтому определения носят номинальный характер.

199

В произведении Л.Кэрролла «Алиса в Зазеркалье» персонаж по имени Шалтай-Болтай как-то необычно употребил слово «слава».

«– Я не понимаю, при чем здесь «слава»? – спросила Алиса...

Шалтай-Болтай презрительно улыбнулся.

–И не пойм¸шь, пока я тебе не объясню, – ответил он.–

ßхотел сказать: «Разъяснил, как по полкам разложил!»

–Но «слава» совсем не значит: «разъяснил, как по полкам

разложил!» – возразила Алиса.

–Когда я беру слово, оно означает то, что я хочу, не больше

и не меньше,– сказал Шалтай презрительно.

–Вопрос в том, подчинится ли оно вам,– сказала Алиса.

–Вопрос в том, кто из нас здесь хозяин, – сказалШалтай-

Болтай. – Вот в ч¸м вопрос!»

Между прочим, сам Л.Кэрролл, который был не только писателем, но и логиком, занимал (как и все логики наших дней, за исключением шарлатанов и невежд) позицию Шалтая-Бол- тая. Любой пишущий человек вправе, предупредив читателя заранее, под словом «черное» понимать «белое» и наоборот. Впро- чем, как верно заметил комментатор Кэрролла М.Гарднер, «Если мы хотим быть правильно понятыми, то на нас лежит некий моральный долг избегать практики Шалтая, который придавал собственные значения общеупотребительным словам». Но если в действительности у многих общеупотребительных слов нет столь же общеупотребительных значений, то как тогда быть?

В науке в большинстве типичных случаев употребления опера-

ции определения используются именно номинальные определения. Сначала бер¸тся некоторая комбинация известных понятий (которая записывается справа от знака ↔ ), а затем ей присваивает-

Df

ся произвольное сокращ¸нное символическое обозначение (размещаемое слева от знака ↔ ). В математике, где регулярно исполь-

Df

зуются определения, встречаются слова «класс», «множество», «группа», «кольцо», «поле», «фильтр», «идеал» и многие другие, используемые в значениях, ничего общего не имеющих с обыденным смыслом этих слов. Философское понятие «материя» ничего общего не имеет с материей для пошива платьев или брюк. За границами науки номинальные определения также встречаются сплошь и рядом. В уголовно-криминальной среде «крыша» – это не средство защиты от дождя. И т.д.

Ничего удивительного тут нет. Если вспомнить о символи- ческой природе языка, то так и должно быть. Есть лишь одно исключение, когда обоснованно применяются не номинальные,

200