Логика для студентов / anisov_a_m_sovremennaya_logika

Ещ¸ одно замечание общего характера. Необходимо показать, что посылки можно выписывать в любом порядке. Например, существование вывода А , ..., А А влечет существование вывода А , ..., А А, в котором1 nиспользован обратный (по отно-

n1

шению к исходному) порядок посылок.

Докажем утверждение о не существенности порядка посылок. Пусть доказана штопор-формула А , А , ... , А , А А. Возьм¸м последовательность А , А , ..., А , А , которая состо-

ит из тех же самых формул, что и последовательность А , А , ...

1 2

, А , А , но выписаны эти формулы в другом порядке. Надо полу-

À, А найд¸тся формула А , которая совпад¸т с формулой А .

ij

мулы, стоящей на n+2-ом месте. В такой ситуации применимо правило →у.

n+3. (À → ... → (À → (À → À))...) – j, n+2, →ó

2n-1 n

Найд¸м среди посылок формулу А , которая совпадает с А

n+3. Потом отделим А , А и т.д. Приближаясь к концу вывода,

34

на шаге 2n получим формулу 2n.

(À → (À → À)).

Снова обнаружим среди посылок формулу А , совпадаю-

im

щую с А и стоящую на месте номер m. Получим следующую

n-1

Наконец, на некотором месте номер g найд¸м посылку А ,

ig

совпадающую с А . Это позволит получить формулу А.

n

151

На основании только что доказанного, примем ещ¸ одно производное правило перестановки посылок (сокращ¸нно «пп.»).

Перестановка посылок

Продолжим построение доказательств и выводов в системе P . В отличие от аксиоматических систем, где идею построения

N

доказательства уда¸тся сформулировать лишь в редких случаях, в натуральных системах эта идея часто лежит на поверхности.

7.(À Â) (Â À) – 4, 6, ó

В заключении построенного вывода стоит штопор-формула (А В) (В А), которую и требовалось доказать. Здесь нужно было выводить из дизъюнкции. Но что значит вывести из (АВ) заключение С? – Это значит, что сначала надо вывести С из А, и потом вывести С из В. Тогда, действительно, вс¸ равно, А имеет место или В, – в любом из альтернативных случаев С выводится. Данная схема рассуждений так и была названа: рассуждения по случаям. В P ей соответствует правило у. Обратите внимание, что в этомNправиле дизъюнкция появляется под чертой, как бы в заключении правила. Почему же тогда оно называется правилом удаления, а не введения? Дело в том, что это косвенное правило, осуществляющее переход от одних выводимостей к другим. В результирующей выводимости Г, (А В) С (стоящей под чертой) дизъюнкция (А В) оказывается на месте посылки, а не на месте заключения С. В этом смысле

152

она удалена из заключения. Сравните: в правилах введения логи- ческих связок соответствующая связка появляется именно в заключении либо правила (если правило прямое), либо в заключе- нии результирующей штопор-формулы (как в правилах →в и ¬в).

Штопор-формула (А → В), ¬В ¬А доказана: имея импликацию и отрицание е¸ консеквента, можно смело отрицать и антецедент. Допустим, принимаются посылки «Если ты меня уважаешь, значит, ты меня боишься» и «Но ты меня не боишься». Следовательно, «Ты меня не уважаешь». Истинность импликации здесь весьма сомнительна. Но никто и не утверждает, что данные посылки и заключение истинны. Тем не менее, рассуждение правильное, и при истинности посылок оно обеспе- чит истинность заключения.

Что касается самого вывода данной штопор-формулы, то в его основе лежит правило введения отрицания. Идея тут такова. Требуется вывести отрицание ¬А. Как это сделать, напрямую не видно. Однако всегда есть возможность попытаться рассуждать косвенно. Давайте к имеющимся посылкам добавим А. Если после этого из посылок удастся вывести некоторое В и его отрицание ¬В, заключим, что А вед¸т к противоречию и, следовательно, верно ¬А. Так мы и поступили.

Быть может, мы зря испугались противоречия? – Нет, не зря. В системе P допущение противоречия вед¸т к таким же

N

катастрофическим последствиям, как и в рассмотренных аксиоматических системах. Покажем, что так.

153

До восьмого шага включительно вс¸ шло обычным порядком. Однако на этом шаге получили штопор-формулу А, ¬А ¬¬В, вместо требуемой А, ¬А В. Но из ¬¬В непосредственно выводится В по ¬у, поэтому на одиннадцатом шаге получаем штопор-формулу ¬¬В В. Применяя производное правило транзитивности к штопор-формулам 8 и 11, доказываем искомую штопор-формулу А, ¬А В.

Людям, не знакомым с логикой, утверждение о том, что из противоречивых посылок выводится любое высказывание, кажется странным. Рассказывают, что однажды к Б.Расселу подо- ш¸л не искуш¸нный в логике философ и недоверчиво спросил: «Вы действительно верите, что из противоречия можно вывести вс¸, что угодно?» – «Да, я в это верю», – ответил Рассел. – «Так что же, Вы верите, что из 2 Ч 2 = 5 выводится, что Вы – папа римский?» – «Да, верю». – «И можете это доказать?» – «Да, могу. Пусть 2 Ч 2 = 5. Так как также верно 2 Ч 2 = 4, имеем 5 = 2 Ч 2 = 4. Значит, 5 = 4. Вычтем из обеих частей этого равенства по 3. Получим 2 = 1. Папа римский и я – нас двое. Но 2 = 1. Следовательно, папа римский и я – одно лицо, и я – папа римский». Нелепый вывод получился из-за того, что допущение 2 Ч 2 = 5 противоречит теоремам арифметики, что позволят вывести не только равенство 2 = 1, но и вообще любую арифметическую формулу.

Используем доказанную штопор-формулу А, ¬А В для доказательства следующего выражения.

Здесь на втором шаге использовали то обстоятельство, что в А, ¬А В формула В – любая, в том числе она может принять

154

Идея данного вывода проста. Надо вывести А из дизъюнкции (А В), используя ещ¸ посылку ¬В. Значит, надо использовать правило удаления дизъюнкции. Подготавливая его применение, требуется построить два вспомогательных вывода Г, АС и Г, В С. Ясно, что вместо С необходимо взять А, прич¸м роль Г играет посылка ¬В. Поэтому ¬В ставим на первое место в выводе. Получить вывод ¬В, А А не составляет труда. Второй вывод ¬В, В А получаем по производному правилу перестановки посылок пп. По правилу у имеем ¬В, (АВ) А. Это не совсем то, что нужно, однако ещ¸ одно применение правила пп. ставит посылки на место.

А))...)). Поэтому все полученные выводы можно достроить до доказательств. Так, прямой вывод ¬¬А А за один шаг пре-

Теперь все варианты этой теоремы, где вместо А и В стоят

любые формулы, также доказаны. Например, доказаны варианты (((А → В) → А) → (¬А → ¬(А → В))) и ((¬(А & ¬В)

→ (А → В))→(¬(А → В) → ¬¬(А & ¬В))), которые скоро нам понадобятся.

Докажем, что (А → В) ↔ ¬(А & ¬В). Но в P нет эквивален-

N →

тности, поэтому данная задача распадается на две: ((А В)

→¬(À & ¬Â)) è (¬(À & ¬Â) → (À → Â)).((À → Â) → ¬(À & ¬Â))

155

В заключение докажем в P закон Пирса. Попробуйте по-

N

лучить доказательство этого закона в аксиоматической системе (особенно в Р ), и тогда вы оцените преимущества натурально-

156

N

логического следования: если вместо черты, разделяющей посылки этих правил и их заключение, поставить знак =, то получится корректное утверждение о логическом следовании. Например, правилу введения конъюнкции соответствует А, В = (А & В). И т.д.

Что касается непрямых, косвенных правил, то в них замена штопора на двойной штопор = привед¸т к такому результату: если на входе правила утверждения о логическом следовании верны, то на его выходе также получим верное утверждение о логическом следовании. Если, например, Г, А = В и Г, А = ←В, то будем иметь Г = ←А, так что правило введения отрицания сохраняет следование. Этим же свойством обладают все оставшиеся косвенные правила, только правила введения и удаления своеобразны – ведь в них знак выводимости встреча- ется либо только на выходе, либо только на входе.

Правило в применяется к корректным выводам, в которых каждый шаг воспроизводил логическое следование или был переходом от следования одного вида к следованию другого вида. Это означает, что если в выводе А , ..., А , ψ , ..., ψ , А формулы А все

до А, также истинны (т.е. истинны как встречающиеся в выводе

формулы, так и встречающиеся в н¸м утверждения о наличии следования). Поэтому имеем право заключить: А , ..., А = А.

1 n

Совсем несложен смысл правила у. Если имеется вывод теоремы А, то верно утверждение о том, что А следует из пустого множества посылок, т.е. верно утверждение = А. Зна- чит, А истинна в любой ситуации, и потому помещение формулы А в вывод не испортит переходов от истин к истинам. Таким образом, для P верна теорема о семантической корректности.

N

157

ГЛАВА 5. ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ

В этой главе будет проанализировано внутреннее строение высказываний с уч¸том и таких их частей, которые сами высказываниями не являются. В современной логике среди элементов внутренней структуры высказываний, наряду с уже знакомыми вам логическими связками, выделяют имена, понятия и кванторы. Располагая связками, именами, понятиями и кванторами, можно осуществлять намного более тонкий анализ рассуждений, чем это было возможно в логике высказываний. Неизбежной ценой за продвижение впер¸д в деле постижения законов правильных рассуждений будет существенное усложнение синтаксиса логического языка и его семантики. Данный раздел логики можно было бы назвать логикой понятий. Однако не много найд¸тся логических терминов, которые бы использовались в столь многочисленных смыслах, как слово «понятие». Разве что само слово «логика» может здесь быть соперником. Видимо, поэтому в современной логике предпочитают вместо термина «понятие» использовать более нейтральный термин «предикат». Мы тоже согласны называть понятия предикатами, но не видим резона отказываться от привычного слова «понятие», и потому будем также предикаты называть понятиями.

§1. Имена и понятия

В составе высказываний встречаются имена. Имя – это знак, денотатом которого является индивид. Что такое индивид – сложный философский вопрос7 . Мы не будем пытаться точно на него ответить. Вместо этого обратимся к практике использования так называемых собственных им¸н, которые пишутся с заглавной буквы. Так вот, вс¸, чему можно дать собственное имя, является индивидом. «Сократ», «Аристотель», «Москва», «Берлин», «Нижний Новгород» «Венера», «Марс», «Полярная звезда», «Созвездие Андромеды», «Зевс», «Геракл», «Россия», «Китай», «Европа», «Азия», «Государственный университет гуманитарных наук», «Московский государственный университет им. М.В Ломоносова», «4», «IV» – вс¸ это собственные имена самых разнообразных и разнородных индивидов. И этот перечень можно продолжать до бесконечности.

159

Не всем объектам дают собственные имена. Например, элементарные частицы не удостоились этой чести. Никто не назо- в¸т какой-либо электрон, фотон или протон по имени. Это потому, что, с точки зрения современных представлений, такие объекты лишены индивидуальности. У науки нет способа отли- чить один электрон от другого по каким-то индивидуальным признакам. Тем не менее, электроны и другие элементарные частицы также считаются индивидами.

Чтобы не запутаться в этой ситуации, условимся относить к

индивидам любые объекты, о которых мы рассуждаем. Короче, можно сказать так: индивид – это объект рассуждения.

Мы рассуждаем об индивидах при помощи понятий. Поня-

тие – это знак, денотатом которого является совокупность индивидов. Денотаты понятий будем ещ¸ называть объ¸мами понятий. Термин «объ¸м понятия» принят в традиционной логике и нередко используется в практике рассуждений.

Несмотря на внешнюю простоту, определение понятия в действительности требует разъяснений. Прежде всего привед¸м примеры понятий. Слова «человек», «число», «зел¸ный», «храбрый» и многие, многие другие указывают не на отдельные индивиды – на отдельного человека, отдельное число, отдельный зел¸ный предмет или отдельного храбреца, а на совокупность всех людей, множество всех чисел, совокупность всех объектов зел¸ного цвета и совокупность всех храбрых индивидов. Возьм¸м индивида по имени «Сократ». Каждый согласится, что Сократ человек, многие будут настаивать, что он храбрый, но никто в здравом уме не будет считать его числом или объектом зел¸ного цвета. Это означает, что Сократ принадлежит совокупности людей и, скорее всего, более узкой совокупности храбрых людей, но не принадлежит ни множеству чисел, ни совокупности зел¸ных предметов.

Каждая из упомянутых совокупностей содержит много индивидов, а совокупность чисел – даже бесконечно много. Ну, а что, если в совокупности мало индивидов? И может ли совокупность содержать только один индивид? Или вообще ни одного?

Ответы на поставленные вопросы диктуются практикой познавательной деятельности людей. Человеческое познание в обязательном порядке предполагает использование каких-либо имеющихся понятий или формирование новых понятий. Образование новых понятий свойственно не только науке. Даже если речь ид¸т об обыденном познании, мы не только используем готовые понятия, но и вводим новые.

160