Логика для студентов / anisov_a_m_sovremennaya_logika

Исключающей дизъюнкции соответствует не совсем обыч- ное сложение. В одной из строк нижеследующей таблицы результат оказывается не тот, который получается при стандартном сложении. Поэтому такое сложение обозначено знаком .

Как видно из таблицы, 0 0 = 0, 1 0 = 1, 0 1 = 1, однако 1 1 равно не двум, а да¸т ноль: 1 1 = 0. Можно было бы вместо этого положить 1 1 = 1, выразив не исключающую дизъюнкцию. В любом случае мы договорились не использовать числа, отличные от 0 или 1.

Система связок {&, }, (как и система {&, }) неполна. В ней нельзя выразить отрицание. Правда, при истинном А формула (АА) да¸т ложь, но при ложном А надо получить истину, в то время как и формула (А & А), и формула (А А) дадут ложь. И как бы мы ни комбинировали эти формулы, при ложном А ниче- го, кроме лжи, не получится. Значит, в систему нужно добавить отрицание. Для этого нам потребуется обычное вычитание.

121

Система связок {&, , ¬} полна, поскольку содержит полную подсистему {&, ¬}.

При вычислении арифметических выражений используется знак равенства. Поэтому завершает арифметическую интерпретацию языка логики высказываний разрешение использовать в вычислениях значений формул этот знак. Например, формуле ((А & ¬В) В) в данной семантике соответствует арифметическая формула ((А Ч (1 – В)) В). При А = 1 и В = 1 получаем ((1 Ч (1 – 1)) 1) = 1. При А = 1 и В = 0 имеем ((1 Ч (1 – 0)) 0) = 1. А = 0 и В = 1 да¸т ((0 Ч (1 – 1)) 1) = 1. Наконец, если А = 0 и В = 0, получим ((0 Ч (1 – 0)) 0) = 0. Таким образом, формула ((А & ¬В) В) выражает обычную не исключающую дизъюнкцию (А В). Так как система {&, , ¬} полна, в ней можно выразить все остальные логические связки (упражнение).

Законам соответствуют арифметические формулы, тождественно равные 1, противоречиям – формулы, тождественно равные нулю, а фактуальным формулам логики высказываний соответствуют арифметические выражения, равные то 1, то 0. Например, противоречивой формуле (А & ¬А) соответствует выражение (А Ч (1 – А)), которое и при А = 1, и при А = 0 да¸т 0. Закону непротиворечия ¬(А & ¬А) сопоставляется арифмети- ческая формула (1 – (А Ч (1 – А))), которая равна 1 при любом значении А.

Ещ¸ одна, третья по сч¸ту, семантика для языка логики высказываний также идейно связана с языком КДО. Рассмотрим электрические схемы, которые состоят из проводников и переключателей. Каждый переключатель может находиться в одном из двух состояний: либо переключатель замкнут (тогда через него теч¸т электрический ток), либо переключатель разомкнут (и тогда ток через него не теч¸т). Разрешим обозначать такие переклю- чатели буквами p, q, r, s, p , p , …, p , … .

тинностной интерпретацией пропозициональных переменных здесь очевидна. Либо высказывание «По участку теч¸т ток» истинно, что соответствует состоянию «р включено», либо оно ложно, что соответствует состоянию «р выключено».

122

Два различных переключателя р и q могут быть соединены между собой либо последовательно, либо параллельно, как показано на следующих схемах. Теперь имеется не две, а четыре альтернативные возможности: (1) «р включе- но» и «q включено», (2) «р включено» и «q вык-

î ð q î лючено», (3) «р выключено» и «q включено»,

(4) «р выключено» и «q выключено». Очевидно, что в случае (1) ток будет течь как при пос-

ð

ледовательном, так и при параллельном соеди-

îî

нении. Однако в оставшихся случаях (2) – (4) q

ток через последовательное соединение не потеч¸т. При параллельном соединении в случае

(2) ток пойд¸т по верхнему участку цепи, а в случае (3) – по нижнему участку. В любом из случаев (1) – (3) параллельное соединение обеспечивает прохождение тока по цепи. И лишь в случае (4) параллельное соединение окажется заблокированным. Провед¸нное рассуждение показывает, что последовательное соединение переключателей p и q описывается конъюнкцией (p & q), а параллельное соединение p и q выражается через дизъюнкцию (p q).

На практике переключатели не всегда должны действовать независимо. Два и более переключателей могут действовать таким образом, что они всегда либо вместе включены, либо вместе выключены. Условимся обозначать такие переключатели на схемах одинаковыми буквами. Существует ещ¸ зависимость иного рода. Нам потребуются такие переключатели, что включение одного приводит к выключению другого, и, наоборот, выключе- ние первого приводит к включению второго. Если есть два таких переключателя и один из них обозначен буквой р, то поведение второго логично описать формулой ←р. И снова, если ка- кие-то переключатели всегда включаются и выключаются вместе с переключателем ←р, то все они также должны на схемах обозначаться как ←ð.

Теперь для описания электрических схем используется полный набор логических связок {&, , ←}. В силу полноты, любая электрическая схема, построенная из переключателей перечисленных видов, может быть адекватно описана на языке КДО. И наоборот, каждой формуле логики высказываний в языке КДО соответствует электрическая схема, структура которой аналогична структуре формулы.

123

Представим себе, что в некоторой стране решения принимаются президентом, премьер-министром и председателем парламента большинством голосов. Однако, премьер-министр и председатель побаиваются президента и голосуют также, как и президент. Тогда президент решил, что будет лучше, если члены тройки не смогут увидеть, как кто голосует. Перед каждым из них поместили кнопку, нажатие на которую означает «за», а не нажатие – «против», и, поскольку они не видят, кто на что нажимает, действовать им прид¸тся независимо друг от друга. Задача: сконструировать электрическую схему, которая срабатывала бы только в том случае, когда два или три голосующих одновременно высказались «за».

Пусть р означает «Президент голосует «за»», q – «Премьер голосует «за»» и r – «Председатель голосует «за»». Решение при-

Теперь по этой формуле можно строить электрическую схему, которая изображена на рисунке. В соответствии с данной схемой, при нажатии тр¸х кнопок одновременно ток потеч¸т по верхнему участку, а три других участка будут заблокированы. Если президент не нажал кнопку, а премьер и председатель нажали, ток потеч¸т только по второму сверху участку и т.д.

В построенной семантике электрических схем естественным образом возникает задача, которая не была столь актуальной для табличной и арифметической семантик. Переключатели и проводники стоят денег, и, кроме того, чем проще схема, тем она над¸жнее. Следовательно, вста¸т проблема упрощения схем. Эта проблема трансформируется в задачу поиска такой формулы логики высказываний в языке КДО, которая была бы самой короткой из всего класса ей эквивалентных.

Привед¸м пример решения такого рода задачи. Дана схема, изображенная на рисунке. Можно ли эту схему упростить? Без знания логики найти решение затруднительно. Но если исполь-

124

зовать логику высказываний, решение обнаруживается чуть ли не автоматически. Опишем данную схему формулой. Ясно, что

qсывается дизъюнкцией ((←p & ←q) q). В свою очередь, описанные верх-

ний и нижний участки соединены параллельно, что отображается дизъюнкцией ((p & q) ((←p & ←q) q)). Наконец, к этим участкам последовательно подсоедин¸н переключатель р. Оста- ¸тся конъюнктивно добавить его обозначение к только что построенной дизъюнкции. В результате получается формула (((p

& q) ((←p & ←q) q)) & p), описывающая всю схему в целом. Построим таблицу истинности для итоговой формулы, указав последовательность вычисления столбцов (кроме тривиаль-

но определяемых столбцов для ←ð è ←q).

Результирующий столбец номер 5 выделен полужирным шрифтом. Но это столбец конъюнкции (p & q)! Значит, вместо длинной формулы от двух переменных (((p & q) ((←p & ←q) q)) & p) достаточно взять эквивалентную ей, и при том максимально короткую, формулу (p & q). Рассматриваемая громоздкая схема, таким образом, упрощается до тривиального последовательного соединения переключателей p и q:

î ð q î

Ещ¸ одна особенность семантики электрических схем. В ней ни законы, ни противоречия не играют никакой роли. Ведь по схеме закона постоянно теч¸т ток, если подать напряжение на

125

е¸ вход. Тогда зачем тратить время и деньги на размещение на такой схеме переключателей? Проще и дешевле заменить эту схему проводником, не содержащим никаких переключателей. По противоречивой схеме ток никогда не теч¸т, поэтому такой участок в цепи просто не нужен и его надо удалить. Интерес представляют только фактуальные высказывания, представляющие разные схемы переключений, по которым, в зависимости от логических условий, ток то ид¸т, то не ид¸т.

Итак, было предложено три формально точных семантики языка логики высказываний: семантика двузначных таблиц истинности и ложности, арифметическая семантика на числах 0 и 1, и семантика составленных из проводников и переключателей электрических схем, которые ещ¸ называют контактно-релей- ными схемами.

Âч¸м же истинный смысл языка логики высказываний, о ч¸м нам говорит этот язык, каковы те объекты, которые обозна- чают знаки этого языка? – Так вопрос ставить нельзя. Рассматриваемый язык является системой знаков-символов. А символы, как мы видели ранее, не имеют никакой связи с обозначаемым, кроме конвенциальной, т.е. связи по соглашению. Три построенные семантики – это три конвенции, каждую из которых можно принимать независимо от остальных. Исчерпывают ли эти конвенции возможные интерпретации символического языка логики высказываний? Нет, существуют и описаны в логической литературе другие семантики данного языка. Более того, можно строить новые, ранее неизвестные семантики.

Âпринципе, такова же ситуация с любыми символическими языками, в том числе естественными. Мы можем придавать словам и выражениям языка такие значения, которые будут новыми или даже непонятными для других носителей языка. Эта особенность символических языков, с одной стороны, затрудняет общение, а, с другой стороны, позволяет вмещать в один и тот же язык вс¸ больше и больше информации. Традиционная логика и филология были далеки от понимания природы символических языков со свойственной им свободой выбора обозначаемого. Лишь современные науки о языке, и логика в том числе, сумели показать, что символический язык имеет по сути неограниченно много альтернативных интерпретаций.

Но сказанное не следует понимать так, что вс¸ равно, какую семантику выбрать. Для науки о рассуждениях, т.е. для логики, наиболее значимой является семантика истинностных таблиц.

126

Для проектирования электрических устройств важнее семантика контактно-релейных схем. И т.д. Мы уже знаем, что разные семантики акцентируют наше внимание на разных аспектах логики высказываний (вспомним, что для логики существенны формулы-законы, а для синтеза контактно-релейных схем они вообще не нужны).

§8. Аксиоматическое исчисление высказываний

Поставим следующую проблему. Можно ли в языке логики высказываний распознавать законы по чисто синтаксическим признакам выражающих их формул? Оказывается, ответ утвердительный. Без обращения к семантическим характеристикам, по одному лишь виду формул можно установить, будет ли эта формула законом. Решается поставленная проблема разными способами. Одним из способов является знаменитый аксиоматический метод. Некоторые утверждения принимаются в каче- стве аксиом. Затем из аксиом по правилам логики выводятся следствия. Если в качестве аксиом берутся логические законы и принятые правила вывода корректно воспроизводят отношение логического следования, то в процессе выведения следствий из аксиом будут получаться только законы.

Аксиомы вместе с правилами вывода образуют аксиомати- ческую систему. Если аксиоматическая система формулируется только на основе синтаксических построений, без всяких ссылок на семантику, то такая система называется формальной акси-

оматической системой или аксиоматическим исчислением. Можно, как мы увидим, строить разные аксиоматические исчисления высказываний. Начать хотелось бы с более компактного построения. Такая возможность у нас есть благодаря наличию полных систем логических связок, содержащих всего одну связку. Однако аксиоматическое исчисление, сформулированное в таком языке, было бы слишком далеко от естественных рассуждений. Можно взять полную систему, в которой имеется всего две связки (так что язык исчисления будет достаточно простым), и в то же время сохранится преемственность с естественными способами рассуждений. В качестве такой полной системы связок возьм¸м {→, ¬}. Выше было показано, что через импликацию и отрицание можно выразить любое высказывание.

127

Система Р .

0

Алфавит системы Р не содержит других логических связок, кроме ¬ и →. Определение0 формулы в Р получается сужением

0

определения формулы на алфавит рассматриваемой системы. Каковы бы ни были формулы А, В и С системы Р , следую-

0

щие формулы являются аксиомами в Р .

А1. (А → (B → A)) (закон утверждение0 консеквента);

А2. (А → (B → C)) → ((A → B) → (A → C)) (закон самодистрибутивности импликации);

А3. (¬А → ¬B) → (B → A) (закон обратной контрапозиции). Имеется единственное правило вывода из перечисленных аксиом – modus ponens (сокращенно м.п.): если имеются посылки A и (A → B), то от них разрешается переходить к заклю-

чению B. Схематически

À, (À → Â)

Â

Как видите, система Р очень компактна. В ней всего три

0

схемы аксиом и одно правило вывода. На самом деле число аксиом в Р бесконечно! Действительно, в качестве А, В и С можно

0

брать любые конкретные формулы, не содержащие иных логи- ческих связок, кроме импликации и отрицания. В результате будет получаться конкретный вариант соответствующей аксиомной схемы. Например, пусть А есть (p → ¬q), а B есть (r → s). Тогда формула ((p → ¬q) → ((r → s) → (p → ¬q))) является аксиомой в Р , поскольку она – вариант схемы А1, т.е. вариант

0

закона утверждения консеквента.

Введ¸м важнейшее понятие доказательства. То, что современная логика сумела строго определить понятие доказательства, является е¸ величайшим достижением. Веками люди доказывали, опираясь на интуицию и здравый смысл. Иногда такая деятельность бывала более или менее успешной (в математике, например, хотя и там возникали проблемы), но чаще предлагаемые доказательства, несомненные для одних, вызывали критику со стороны других. Скажем, Р.Декарт был уверен, что ему удалось доказать объективность своего собственного существования. Он рассуждал примерно так. Размышления позволяют усомниться во вс¸м – в существовании бога, внешнего мира, в собственном существовании. Но вс¸ же есть нечто несомненное

– несомненным оста¸тся сам факт данного в мысли сомнения. Отсюда знаменитое декартовское cogito, ergo sum (мыслю, сле-

128

довательно существую). Доказательство перед нами или нет? Наряду со многими другими, это рассуждение отверг Т.Гоббс. По его мнению, выводить из «я мыслю» утверждение «значит, я существую» – это вс¸ равно, что выводить из «я прогуливаюсь» суждение «значит, я прогулка». Кто здесь прав?

И уж совсем плохо обстояли дела, когда что-то доказать не удавалось. В математике веками пытались вывести пятый постулат (о параллельных) Евклида из других предложенных им геометрических аксиом. А что, если некоторое высказывание невозможно вывести из аксиом? Но прежде, чем утверждать, что что-то недоказуемо, надо суметь разобраться, что значит доказуемо. Когда с этим разобрались, тогда выяснилось, что пятый постулат из упомянутых аксиом не выводится, в этой аксиоматике он не доказуем.

Логика располагает разными уточнениями того, что такое доказательство. Наиболее простое определение уда¸тся сформулировать именно для случая доказательств в формальных аксиоматических системах. Мы дадим такое определение, которое пригодно для любых аксиоматических исчислений (разумеется, и для исчисления Р )

0

Доказательством называется конечная последовательность

формул (одна или более), каждая из которых является либо аксио-

мой, либо получается из предыдущих формул этой последователь-

ности по одному из правил вывода. Последняя формула А такой

последовательности называется теоремой, а сама последователь-

ность является доказательством А.

Условимся писать А, если существует доказательство А. Знак « » является сокращение для слов «теорема формальной системы» или просто «теорема». Каждый раз надо ч¸тко понимать, о какой формальной системе ид¸т речь. Ведь может слу- чится так, что А теорема в системе Р, но не теорема в системе Q. Сейчас мы располагаем только системой Р , поэтому записи с использованием символа « » относятся именно0 ê íåé.

Но даже если какая-то предъявленная конечная последовательность формул А , А , ..., А , А является доказательством А,

1 2 n

увидеть это бывает нелегко. Поэтому в логике поступают следующим образом. Формулы доказательства выписывают не в строч- ку, а в виде нумерованного столбца, прич¸м справа от каждой формулы пишут пояснения, на основании чего данная формула внесена в доказательство.

129

Привед¸м примеры доказательств в системе Р .

Полученная последовательность, содержащая только одну формулу (A → (B → A)), является доказательством. Ведь эта формула совпадает с аксиомой А1, что и указано в пояснении справа от не¸. Последняя формула этой последовательности (в данном случае, она же и первая) будет теоремой. Таким образом, имеем право записать (A → (B → A)), что и требовалось.

Поскольку аксиома А1 на самом деле схема формул, любой е¸ конкретный вариант также считается доказанным. В частности, формула ((p → ¬q) → ((r → s) → (p → ¬q))) является вариантом А1, и потому ((p → ¬q) → ((r → s) → (p → ¬q))) в Р . Можно предъявить явное доказательство последнего ут-

0

верждения.

1. ((p → ¬q) → ((r → s) → (p → ¬q))) – À1.

Формула ((p → ¬q) → ((r → s) → (p → ¬q))) внесена в последовательность на том основании, что она есть вариант аксиомы А1. Значит, ((p → ¬q) → ((r → s) → (p → ¬q))).

Аналогичным образом доказывается, что оставшиеся схемы аксиом и все количественно бесконечные варианты схем аксиом являются теоремами системы Р . Едва начав работу, мы уже

0

доказали бесконечно много теорем.

Может быть, вы слышали такое мнение: аксиома – это утверждение, принятое без доказательств. В соответствии с вве- д¸нным точным понятием доказательства, это мнение ошибоч- но. Без доказательств мы вообще ничего не принимаем. Просто доказательства аксиом тривиальны, ибо аксиома – это такое утверждение, которое само себя доказывает.

Нельзя ли в Р доказать нечто нетривиальное? Разумеется, в

0

этой системе доказуемы формулы, не являющиеся частными случаями аксиом. Сейчас докажем формулу, которая будет короче любой аксиомы.

130