10) Лаговые модели.

В реальной экономике связь между экзогенные и эндогенными переменными не всегда бывает одновременной. Например, инвестиции, вкладываемые в экономику, действуют с определенным запаздыванием. Для учета запаздывания во времени используют так называемые лаговые модели.

Лаговая модель – разновидность эконометрической модели, в которой экзогенные переменные входят с учетом запаздывания во времени: ∞y_t = a_t + b₀x_t + b₁x_{t - 1} + … + ε_t = a_t + ∑ b_k x_{t - k} + ε_t.

_k=0

Для того чтобы ряд сходился и уравнение имело решение необходимо чтобы выполнялись следующие условия: ∞

∑ b_k = b < ∞, а, следовательно, lim b_{k = 0k=0 k→∞}

Примеры моделей

1. Модель гиперинфляции Кагана:

y_t = – a₀ – a₁x*_{t +1} + ε_t,

где y_t = ln |M_t / p_t|,p_t – индекс цен; M_t – номинальный индекс спроса на денежные остатки;x*_{t +1} – ожидаемый темп инфляции.

2. Модель оценивания спроса на реальные денежные запасы:

n M_t = 2,0 – 0,10 ln R_t + 0,7 lnY_t+ 0,6 ln M_{t – 1},

где R_t – процентная ставка в году t,

M_t – денежные запасы к концу периода t,

Y_t – реальный ВВП в году t.

11) Структурно-причинные модели.

Для большей наглядности связей между переменными используют так называемые структурно-причинные эконометрические модели, основывающиеся на связи теории графов и эконометрики.

Рассмотрим такую модель для 2-х уравнений:

y₁ = b₂₁ y₂ + c₁₁x₁+ c₂₁x₂+ ε₁ (c₁₁ = 1),

y₂ = b₁₂ y₁ + c₁₂x₁+ c₃₂x₃+ ε₂ (c₁₂ = 1),

где y₁ – денежная масса,

y₂ – оборачиваемость денег,

x₁ – фиктивная переменная,

x₂ – денежные доходы населения,

x₃ – размер вкладов в сбербанках.

Изобразим рассмотренную эконометрическую модель в графическом виде. Причем нужно заметить, что эндогенные переменные заключаются в кружки, а экзогенные – в квадраты.

12) Игровые модели в экономике

Теория игр – раздел математики, моделирующий конфликтные ситуации, т.е. ситуации, когда рассматривается взаимодействие сторон с несовпадающими интересами.

Теория игр является математической теорией принятия решений при целенаправленном воздействии среды. Она предназначена для выработки рекомендации по рациональному поведению участников конфликта.

Формальное описание предполагает:

• задание множества участников конфликта;

• задание множества контролируемых ими параметров;

• формулировка правил, по которым производится отбор и оценивается возможная эффективность действий участников.

Цели противодействующих сторон не обязательно должны быть антагонистическими.

Конкретное описание конфликта осуществляется путём задания определенных специальных правил. Такими правилами являются:

1. возможные действия игроков;

2. состав информации о действиях других игроков и об условиях, в которых происходит игра;

3. оценки качества действий каждого из игроков.

Партия представляет собой фиксированный вариант реализации игры при неизменных правилах и складывается из отдельных ходов, принимаемых противоположной стороной.

Поведение каждой из оперирующих сторон характеризуется стратегией.

Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор варианта действий при каждом личном ходе игрока в зависимости от ситуации, сложившейся в процессе игры.

Оптимальная стратегия – стратегия, которой при многократном повторении игры партии обеспечивается максимальный выигрыш или минимальный проигрыш.

Предполагается, что противник рационален и его действия направлены на обеспечение своего выигрыша.

Обычно используется так называемый матричный подход для описания конфликтной ситуации.

Предположим играют 2 человека – А и В. Будем характеризовать результат каждого хода ценой. Построим таблицу выигрышей, которая называется платежной матрицей А: В α = max α_i = max min a_ij – нижняя чистая цена

i i j

β = min βj = min max a_ij – верхняя чистая цена

j j i

α = β = ν

a_ij - выигрыш или проигрыш (i = 1…m; j = 1…n).

Если нижняя и верхняя чистые цены совпадают, то игра называется игрой с седловой точкой (ν). Если противники А и В рациональны, то они не допускают отклонения от своей стратегии или выгодно придерживаются нулевой суммы. И игра решаема в чистых стратегиях.

Если нижняя и верхняя цены не совпадают, у противника остается возможность использовать так называемые смешенные стратегии.

При игре с ненулевой суммой игроки выбирают наилучшие стратегии для себя с большей вероятностью.

Кроме биматричных игр существуют и коалиционные игры, которые способствуют объединению игроков, отстаивающих интересы коалиции (например, Украина).

В случае, когда результаты того или иного хода неизвестны, то говорят об игре в условиях неопределенности. Для принятия решений в условиях неопределенности игроки используют те или иные критерии, которые позволяют оптимизировать результаты игры:

1. Критерий Вальда. Это критерий крайнего пессимизма. Принимающий решение считает, что какую бы стратегию он ни выбирал, природа реализует свое наихудшее состояние. В наилучших условиях принимающий решение находит наилучший выход.

α = max α_i = max min a_ij (i = 1…m; j = 1…n).

i i j

2. Критерий Сэвиджа. Этот критерий основан на принципе минимизации максимального риска. Сэвидж предложил рассматривать не платежную матрицу с ценой, а матрицу риска. Риском r_ij (i = 1…m; j = 1…n) принимающего решение называют разницу между тем выигрышем, который он бы получил, если бы знал, какое состояние реализует природа, и его реальным выигрышем.

r_ij = max a_ij - a_ij (i = 1…m; j = 1…n),

i

S = min S_i = min max r_ij.

i i j

3. Критерий Гурвица. Это критерий пессимизма-оптимизма. Наилучшей является стратегия A_ij, соответствующая числу ā_i:

ā_i = γ min a_ij + (1- γ) max a_ij (0≤ γ ≤1); j j

Значение параметра γ задает принимающий решение на основании своего опыта. Если γ = 1, то критерий Гурвица преобразуется в критерий крайнего пессимизма. Если γ = 0, то получаем критерий крайнего оптимизма.

Игровые модели находят широкое применение при проведении операций на фондовом рынке.