9) Моменты.

_N

Момент k-го порядка: M = ∑(X_i - A)^k / N

_i=1

_N

1. A = 0, k = 1, => M[X] = 1/N*∑X_i – момент первого порядка;

2. A = M[X], k = 2, => D[X] = ∑(X_i - M[X])² / N – центральный момент второго порядка (дисперсия);

3. A = M[X], k = 3, => S[X] = ∑(X_i - M[X])³ / N – центральный момент третьего порядка _i=1 (асимметрия); Ковариация. Корреляция. Примеры.

Если рассматривать многофакторные модели, то необходимо знать, как переменные ведут себя по отношению друг к другу. Их взаимосвязь называется ковариацией и вычисляется по формулам:

cov_xy = ∑ (X_i – M[X])(Y_i – M[Y]) / (N – 1) = σ_xy,

ⁱ

cov_xy > 0, когда X_i и Y_i одновременно возрастают;

cov_xy < 0, когда X_i возрастает (убывает) и одновременно Y_i убывает(возрастает);

cov_xy = 0, когда Y_i не зависит от X_i.

Для вычисления степени взаимозависимости вычисляют коэффициент корреляции: ρ_xy = σ_xy / σ_x σ_y, где σ_x = cov_xx, σ_y = cov_yy.

Коэффициент корреляции позволяет достаточно точно характеризовать связь переменных X и Y.

Если между переменными устанавливается сильная связь, то коэффициент корреляции = 1, если слабая - то коэффициент корреляции = 0.

Также еще используется коэффициент детерминации для оценки адекватности регрессионной модели.

R² = ∑(y_i^ф– M[y_i])² / ∑(y_i^р– M[y_i])²,если R² близок к 1, то говорят, что данная модель адекватная, если близок к 0, то – неадекватная.

Пример: В теории формирования инвестиционного портфеля известна модель оценки капитальных активов (CAPM – Capital Asset Pricing Model), в рамках которой ожидаемая доходность акций определяется по регрессионной модели:

R_Et – R_f = β(R_Mt – R_f) + ε,

где R_Et – ожидаемая доходность акций компании;

R_f – доходность безрисковых ценных бумаг(государственные облигации);

R_Mt – доходность в среднем на рынке ценных бумаг.

Тогда величина R_Mt – R_f представляет собой рыночную премию за риск при вложении инвестируемого капитала в ценные бумаги; R_Et – R_f – премия за риск при вложении капитала в ценные бумаги данной компании. Значение параметра β представляет собой индекс доходности данной компании и оценивается по МНК:

β = Cov(R_E, R_M) / S²_RM,

_n где Cov(R_E, R_M) = 1/n∑ (R_Et – R_E)( R_Mt – R_M);

^{t = 1}

_n __ S²_RM = 1/n∑ (R_Mt – R_M). ^{t = 1}

Если β = 1, делают вывод о равенстве средней степени риска акций данной компании риску, сложившемуся на рынке в целом; если β > 1, то ЦБ данной компании более рискованны, чем в среднем на рынке ЦБ.