Моделирование адаптации политики Национального банка для фиксированного и плавающего обменных курсов.

1. Ряд положений, сформулированных в тексте, требует более строгого обоснования, чем то, которое было приведено на основе диаграмм. Цель настоящего математического дополнения состоит как раз в том, чтобы восполнить этот пробел.

2. Пусть X представляет избыток спроса на товары и услуги, по­этому

X = Инвестиции - Сбережения + Сальдо торгового баланса,

и пусть F — активное сальдо (профицит) платежного баланса. Следовательно,

F = Сальдо торгового баланса - Экспорт капитала.

Обе величины (X иF) считаются зависящими от внутренней про­центной ставкиr и отношения уровней цен на внутреннем и внеш­нем рынкахр. Условия равновесия записываются в следующем виде:

Х(р,r) = 0 (рынок товаров и услуг); (1)

F(р,r) = 0 (валютный рынок) (2)

Дифференцируя (1), получим

(dr / dp)_{x = 0} = - X_p / X_r (3)

(равно наклону линии внутреннего равновесия),

а дифференцируя (2), —

(dr / dp)_{F = 0} = - F_p / F_r (4)

(равно наклону линии внешнего равновесия).

Индексы при X иF означают дифференцирование по pи r.

Естественно принять, что X_p < 0 (повышение стоимости валюты или увеличение уровня цен оказывается дефляционным в том смыс­ле, что оба эти фактора ведут к понижению избыточного спроса на товары); X_r < 0 (рост процентной ставки оказывает дефляционный эффект); F_p < 0 (повышение стоимости валюты или уровня цен ухудшает платежный баланс); F_r > 0 (повышение процентной ставки улучшает платежный баланс). Напомним, что в основном тексте бы­ло сделано упрощающее предположение о том, что уровень цен или обменный курс влияют только на торговый баланс, а процентная ставка влияет только на уровень импорта или экспорта капитала.

3. Принимается первый динамический постулат : движение сис­темы с фиксированным обменным курсом описывается дифферен­циальным уравнением

dp / dt = k₁ Х(р,r) = 0, (5)

согласно которому уровень цен возрастает пропорционально избы­точному спросу на товары и услуги. Второй постулат записывается так:

dr / dt = - k₂ F(р,r). (6)

Он утверждает, что процентная ставка растет или падает пропорци­онально разности между платежами и поступлениями в иностранной валюте. Параметр к в каждом случае характеризует скорость реак­ции соответствующего рынка.

Разложив правую часть уравнений (5) и (6) в ряды Тейлора и оставив только линейные члены, получим уравнения:

dp / dt = k₁ X_p (р - p_о) + k₁ X_r (r - r₀), (7)

dr / dt = k₂ F_p (р - p_о) + k₂ F_r (r - r₀), (8)

в которых p_о иr₀означают соответственно уровень цен и процент­ную ставку при равновесии. Характеристическое уравнение для этой системы имеет следующий вид:

m - k₁ X_p - k₁ X_r

= m² - (k₁ X_p - k₂ F_r)m - k₁ k₂( X_p F_r - X_r F_p) = 0 (9)

k₂ F_p m +k₂ F_r

Два корня этого уравнения выражаются формулой

k₁ X_p - k₂ F_r ± √(k₁ X_p + k₂ F_r)² - 4 k₁ k₂ X_r F_{p ,}

m_1, m₂ = 2 (10)

которые в зависимости от знака подкоренного выражения могут быть действительными или комплексными (мнимыми) числами.

Система будет приближаться к положению равновесия асимпто­тически (монотонно) или циклически (колебательно) в зависимости от знака дискриминанта D (подкоренное выражение).D > 0, еслиF_rочень велико (большая подвижность капитала); знак неравенстваD ^>_< 0зависит, в свою очередь, от того, велико или мало отношение скоростей адаптацииk₂ / k₁ приF_r = 0(нулевая подвижность капита­ла).

4. В случае плавающего курса полагаем, что динамические свой­ства системы задаются следующими уравнениями:

dp / dt = h₁ F(р,r) (11) и

dr / dt = h₂ X(р,r), (12)

первое из которых устанавливает, что обменный курс возрастает или снижается пропорционально вел мине положительного или от­рицательного сальдо платежного баланса; второе уравнение устанав­ливает, что центральный банк повышает или понижает процентную ставку пропорционально инфляционному или дефляционному гэпу, который возникает на рынке товаров и услуг.

После линеаризации уравнений (11)и (12) получим, как и в предыдущем случае, характеристическое уравнение, два комплексных корня ко­торого выражаются формулой

h₁F_p + h₂X_r ± √(h₁F_p – h₂X_r)² + 4 h₁ h₂ F_r X_{p ,}

m_1, m₂ = 2 (13)

Корни будут либо отрицательными и действительными, либо комп­лексными с отрицательной мнимой частью, что обеспечивает устой­чивость системы.

Отметим, что если капитал неподвижен (F_r = 0), дискриминант уравнения обязательно должен быть положительным, поэтому корнидействительныи система приходит в равновесие апериодически (асимптотически). Если же капитал обладает высокой подвижнос­тью, корни будут комплексными и приближение к равновесию про­исходит по колебательной траектории.

5. Перейдем теперь к рассмотрению обобщенной системы, кото­рая управляется следующими уравнениями:

dp / dt = k₁ Х(р,r) + h₁ F(р,r), (14)

dr / dt = h₂ X(р,r) - k₂ F(р,r). (15)

Они описывают систему с фиксированным обменным курсом, если задать параметры h₁ иh₂ равными нулю, и систему с плавающим обменным курсом, если предположить, что параметрыk₁ и k₂ равны нулю. Чтобы эта система была устойчивой, должна быть устойчивой и соответствующая ей линейная система

dp / dt = (k₁X_p + h₁F_p)(р - p_о) +( k₁X_r + k₁F_r)(r - r₀), (16)

dr / dt = (h₁X_p – k₂F_p)(р - p_о) +( h₂X_r - k₂F_r)(r - r₀). (17)

Необходимым условием этого является отрицательность "следа" (суммы диагональных членов матрицы коэффициентов правой час­ти) и положительность главного детерминанта (определителя систе­мы). Проще говоря, чем больше абсолютная величина диагональных элементов относительно недиагональных членов, тем быстрее (неколебательно) будет происходить приближение к равновесию. Этим объясняется приведенный в тексте в общих чертах вывод о том, что более высокая подвижность капитала приводит к циклично­сти при плавающем курсе и не вызывает подобного эффекта при фиксированном курсе. Слабая подвижность капитала, наоборот, не ассоциируется с монотонным (апериодическим) приближением к равновесию при фиксированном курсе и является характерной чер­той плавающего курса. Читатель в качестве упражнения может про­анализировать и другие соотношения, связывающие поведение сис­темы со значениями ее параметров. Это, в частности, поможет ему понять упомянутый в тексте так называемый принцип эффективной рыночной классификации: экономические инструменты (т.е. пара­метры уравнений) должны непосредственно служить достижению именно тех целей (т.е. воздействовать на те рынки), на которые они направлены и на которые они могут влиять в наибольшей степени.

6. Проанализируем поведение системы с фиксированным курсом в том случае, когда центральный банк в качестве главного критерия своей политики выбирает разницу между желаемымирезервами в

_t

иностранной валюте Q₀ ифактическими(ранее аккумулированны­ми) резервами∫₀ F(р,r)dt.. Тогда

динамика системы описывается сле­дующими уравнениями:

dp / dt = k₁ Х(р,r), (18)

_t

dr / dt = b[Q₀ - ∫₀ F(р,r)dt.]. (19)

Уравнение (19) просто означает, что процентная ставка изменяется пропорционально разности между желаемым и действительным уровнями резервов, причем постоянная bхарактеризует скорость этой реакции.

Действуя как обычно, т.е. линеаризируя систему, получим следую­щее характеристическое уравнение:

m - k₁X_p - k₁X_r = 0. (20)

b F_p m² + b F_r

Пользуясь правилом Декарта, можно установить, что в данном случае не существует положительных действительных корней. В таком случае, если система имеет комплексные корни с положи­тельной действительной частью, она должна быть неустойчивой и будет удаляться от состояния равновесия по развертывающейся спирали.

Заметим, что, если уровень цен фиксирован, траектория процен­тной ставки описывается уравнением

r(t) = r₀ + ce^{√-Ft t} + dе ^{-√-Ft t} = r₀ + j cos √F_rt + k sin √F_r, (21)

т.е. представляет незадемпфированную гармонику. Такое положе­ние сохраняется и в случае, если F_p равно нулю. Таким образом, мы шаг за шагом доказали все утверждения, приведенные в ос­новном тексте.

7. Теперь предположим, что центральный банк при фиксирован­ном обменном курсе следит как за состоянием счета текущих опе­раций, так и за уровнем резервов. В этом случае мы имеем дело со следующей системой:

dp / dt = k₁ Х(р,r), (22)

_t

dr / dt = - k₂ F(р,r) + b[Q₀ - ∫₀ F(р,r)dt.], (23)

которой соответствует характеристическое уравнение

m - k₁X_p - k₁X_r

= 0, (24)

k₂F_pm + bF_p m² + k₂F_rm + bF_r

не имеющее действительных положительных корней. Тем не менее оно имеет комплексные корни с положительными действительными частями, если

k₁(F_pX_r - X_p F_r)[ k₂ / b(k₂F_r - k₁X_p) - 1] + F_r(k₂F_r - k₁X_p ) > 0.

Заметим, что чем меньше в этом случае будет вес члена, ответствен­ного за резервы (малость параметра b) и чем выше подвижность капи­тала (F_r велико), тем более вероятно, что система будет устойчивой.

8.Теперь мы займемся системой, в которой спекулянты реаги­руют на уровень резервов центрального банка (q), а центральный банк следит за равновесием баланса текущих операций. Соответ­ствующая система уравнений имеет вид:

dp / dt = k₁Х(р,r), (25)

_t

dr / dt = - k₂F(р,r,q), где q = ∫₀ F(р,r,q)dt (26)

и ее характеристическое уравнение записывается так:

m³ + (k₂ F_r – F_q – k₁ X_p)m² + k₁[k₂(X_r F_p – X_p F_r) + X_p F_q] m = 0, (27)

причем F_q характеризует изменение внешнего равновесия в резуль­тате роста уровня резервов, т.е. должна быть величиной положи­тельной. Из уравнения (27) следует, что большая величинаF_q и малые зна­чения параметровF_r иk₂ играют дестабилизирующую роль.

9.Займемся, наконец, спекуляциями при плавающем валютном курсе. Будем предполагать, что спекулятивные продажи иностран­ной валюты определяются не только самим валютным курсом, но и скоростью его изменения. Соответствующая система уравнений выглядит следующим образом:

dp / dt = h₁F(р,r, dp /dt), (28)

dr / dt = h₂Х(р,r) (29)

и ей соответствует характеристическое уравнение

m² – (aF_p + h₂X_r)m + ah₂(F_p X_r – F_r X_p ) = 0, (30)

в котором a = h₁ / (1 - h_1η). Параметрηхарактеризует спекулятивный отток капитала при изменении обменного курса, т.е. своего рода коэффициент ожиданий. Необходимое и достаточное условие ус­тойчивости, учитывая принятые соглашения о знаках, состоит в выполнении неравенстваh_1η < 1. Заметим, что неравенствоη < 0не является необходимым условием устойчивости: даже если спекулянты уверены, что обменный курс будет и далее изменяться в том же направлении, как и в данный момент, система может ока­заться стабильной.

10. Традиционные аргументы в пользу системы плавающих кур­сов могут быть кратко сформулированы следующим образом. Вве­дем обозначения:

p — уровень внутренних цен;

y— уровень валового внутреннего продукта;

е — цена внутренней денежной единицы, выраженная в золоте, т.е. золотое содержание внутренней валюты;

r — внутренняя процентная ставка.

Спрос на товары и услуги, равно как и платежный баланс, зави­сит от всех четырех переменных. Условия равновесия имеют вид:

Х(р*е,y,r) = 0,

F(р*е,y,r) = 0.

Эта система состоит из двух уравнений и содержит четыре пе­ременные, поэтому она обладает двумя степенями свободы. Но при этом существенно, что если обменный курс оказывает одинаковое влияние на оба рынка, то при изменении курса эквивалентные им изменения уровня цен отнюдь недостаточны для того, чтобы в той же пропорции сдвинулись обе величины еир.

Чтобы данная система была совместной, она должна содержать две свободные переменные (но только одна из них — условия тор­говли p*е— может быть задана). Если уровень цен фиксирован пу­тем институциональных ограничений, то либо выпуск (валовой на­циональный продукт), либо обменный курс (помимо процентной ставки) должен оставаться свободной переменной. Если же прави­тельство фиксирует выпуск (проводя политику полной занятости), тогда необходимо позволить изменяться обменному курсу. Но если правительство фиксирует и выпуск, и обменный курс, условия рав­новесия будут нарушены — либо рынок товаров и услуг, либо пла­тежный баланс обязательно станут неравновесными.

Разумеется, введением контроля или путем иных политических действий правительство может стабилизировать и выпуск, и обмен­ный курс, не нарушая как бы условий равновесия. Однако подобная политика преследует совершенно иные, неэкономические цели, по­этому исключает такой ориентир, как эффективность.