3.4.2. Напруження на довільно нахилених площадках

Одержимо формули для напружень і, які діють на довільно орієнтованій площадці. Положення цієї площадки визначимо кутами, утвореними нормаллюдо цієї площадки з осями 1, 2 і 3, відповідно паралельними головним напруженнямі. Формули для напруженьтаодержимо з умови рівноваги елементарного чотиригранника (тетраедра), наведеного на рис.3.19, виділеного з головного паралелепіпеда.

Рис.3.19

Приймемо площу , тоді площі інших граней тетраедра як проекціїна координатні площини набувають вигляду[6]:

; ;. (3.44)

Проектуючи всі сили на нормаль , знайдемо

, (3.45)

звідки, з огляду на (3.44), одержимо формулу для нормального напруження:

. (3.46)

Зважаючи на те, напрям дотичного напруження невідомий, знайдемо повне напруження.

Якщо у просторі побудувати багатокутник сил, що діють на тетраедр, то вектор буде діагоналлю паралелепіпеда, у якого ребра дорівнюють. Таким чином:

.

Звідки, використовуючи (3.44), одержимо повне напруження:

. (3.47)

Тепер можна визначити дотичне напруження:

. (3.48)

Формули (3.46)(3.48) показують, що три головних напруження іцілком визначають об'ємний напружений стан.

3.4.3. Октаедричні напруження. Поняття про інтенсивність напружень

Площадка, рівнонахилена до напрямів трьох головних напружень, називається октаедричною, а напруження, що діють на цій площадці, – октаедричними напруженнями. Зазначені площадки відтинають на осях 1,2 і 3 рівні відрізки і утворюють у просторі вісьмигранник – октаедр (Рис.3.20).

Рис.3.20

Косинуси кутів є направляючими косинусами для нормаліі тому зв'язані співвідношенням:

.

Для октаедричних площадок і, отже,

.

Підставляючи це значення косинусів у (3.46) і (3.47), знайдемо:

. (3.49)

. (3.50)

За формулою (3.48)

.

Звідки остаточно маємо:

. (3.51)

При вивченні деформації різних тіл встановлено, що загальна деформація матеріалу навколо точки поділяються на деформацію зміни об’єму та деформацію зміни форми. Важливе значення октаедричних напружень визначається тим, що з першою з цих деформацій пов'язане напруження , а з другою .

Знаючи дотичні октаедричні напруження, можна розрахувати інтенсивність напружень:

(3.52)

або

(3.53)

3.5. Деформований стан у точці

3.5.1. Поняття про тензор і девіатор тензора деформацій. Головні лінійні деформації

Деформація будь-якого елементарного паралелепіпеда може бути надана такою, що складається з окремих найпростіших деформацій. (Рис.3.21). Усього складових деформацій шість: три лінійні () та три кутові, зсувові (). Лінійні складові являють собою відносне подовження ребер елементарного паралелепіпеда, а індекс при позначенні деформації показує, паралельно якій з осей відбувається це подовження. Лінійні деформації призводять до зміни об’єму і форми (наприклад, перехід від форми куба до форми паралелепіпеда). Кутові деформації являють собою зсув елементарного паралелепіпеда стосовно первісного положення. Додатному зсувові відповідає зменшення кута між додатним напрямком осей, від’ємному – збільшення цього кута.

Рис.3.21

Кути зсуву, проектовані на площину ХY, позначаються (або), на площинуYZ  (або) і на площинуZX  (або). При цьому кутові деформації попарно дорівнюють:;;. Таким чином, деформований стан, що являє собою сукупність лінійних і кутових деформацій для всіляких положень осей координат, у загальному випадку може бути описаний тензором деформацій, який включає в себе дев'ять компонентів: три відносні лінійні деформаціїі шість кутів зсуву, , .

(3.54)

Тензор деформації можна розділити на кульовий тензор деформацій

(3.55)

який характеризує об'ємну деформацію в точці, і на девіатор деформацій:

, (3.56)

який характеризує зміну форми в околі цієї самої точки.

Подовження будь-якого відрізка, що проходить через дану точку, можна виразити через шість компонентів деформації цієї точки:

, (3.57)

де  косинуси між напрямком розглянутого відрізка та осями прямокутних координат.

Можна стверджувати, що в кожній точці (за аналогією з напруженим станом) тіла існують три взаємно перпендикулярні напрямки, які називаються головними осями деформацій, і які мають ту властивість, що матеріал по цих напрямках зазнає тільки лінійні деформації, тому що зсув при цьому дорівнює нулю.

Якщо підставити в (3.35) замість компонентів тензора напружень компоненти деформації, тобто змінити на,наі т.д., то можна одержати кубічне рівняння, що визначає головні лінійні деформації:

. (3.58)

Інваріанти тензора деформації матимуть вигляд:

; (3.59)

; (3.60)

. (3.61)

Вираз інваріантів через головні деформації має вигляд:

; (3.62)

; (3.63)

. (3.64)

За аналогією з напруженнями, подовження у напрямку, перпендикулярному до октаедричних площадок, дорівнюватиме:

. (3.65)

Відносна кутова деформація в октаедричних площадках має вигляд:

(3.66)

або

. (3.67)

Найбільший відносний зсув за аналогією з (3.43) дорівнює:

. (3.68)

Інтенсивність деформації найдемо з виразу:

(3.69)

або

, (3.70)

де  коефіцієнт Пуассона.