Лінійні дії з векторами

Комутативність відносно додавання векторів

Асоціативність відносно додавання векторів

Асоціативність відносно множення чисел

Дистрибутивність відносно додавання чисел

Дистрибутивність відносно додавання векторів

Проекція вектора та вісь()

Властивості проекції на вісь:

або

– ;

– ;

– проекція замкнутої векторної лінії на вісь дорівнює нулю.

Розклад вектора за

координатним базисом:

Довжина (модуль) вектора :

Направляючі косинуси

вектора :

, ,

задовольняють

умові: .

Дії над векторами, заданими своїми координатами

1) при додаванні векторівтаїх однойменні координати додаються:

2) при відніманні векторівтаїх однойменні координати віднімаються:

3) при множенні вектора на числокожна з координат вектора множиться на це число:

Визначення та геометричний зміст

Властивості

Скалярним добуткомвекторівтаназивається число, що визначається рівністю:

.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. , якщо;

6. добутки ортів:

,

Позначення:

,

Векторним добутком векторів таназивається вектор, довжина якого дорівнює:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. , якщо;

6. добутки ортів:

,

, ,,

, ,

Позначення: ,

Мішаним добутком трьох векторів,таназивається число, що дорівнює:.

.

Позначення: ,,,

1. ;

2. ;

3.

;

4. , якщо вектори,такомпланарні;

5. , якщо вектори,таутворюють праву трійку векторів;

6. – ліву трійку векторів

Обчислення в ДСК

Основні задачі

,

де ;

.

1. Довжина вектора :

2. Косинус кута між векторами та:

3. Проекція вектора на вектор:

4. Умова перпендикулярності векторів та:

,

де ;

.

1. Площа паралелограма, побудованого на векторах та:

2. Площа трикутника, побудованого на векторах та:

3. Висота паралелограма, побудованого на векторах та:

4. Висота трикутника, побудованого на векторах та:

5. Умова колінеарності двох векторів та:

,

де ;

;

.

1. Об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах ,та:

2. Об’єм піраміди, побудованої на векторах ,та:

3. Висота паралелепіпеда, побудованого на векторах ,та:

4. Висота піраміди, побудованої на векторах ,та:

5. Умова компланарності трьох векторів ,та: