1. Лінійна алгебра
1.1. Матриці та дії над ними
Матрицеюрозміру
називається множина з елементів
,
розміщених у вигляді прямокутної таблиці
з
рядків і
стовпців:
,
де
– елемент матриці; числа
,
– індекси елемента матриці, що вказують
його місцезнаходження:
– номер рядка;
– номер стовпця.
Число елементів
матриці
знаходиться як добуток числа рядків
на число стовпців
.
Матриця називається
прямокутною, якщо число її рядків
не дорівнює числу її стовпців, тобто
:
.
Квадратною матрицеюназивається матриця, в якій кількість рядків і стовпців однакова. Їх кількість вказує на розмір (порядок) матриці:
.
|
Головною
діагоналлюквадратної матриці
називається діагональ, яка проходить
через лівий верхній та правий нижній
кути матриці (складається із елементів
|
Побічною
діагоналлюквадратної матриці
називається діагональ, яка проходить
через правий верхній та лівий нижній
кути матриці (складається із елементів
|
):
):
Деякі типи матриць
|
|
Матриця-рядок– матриця розмірності |
|
|
Матриця-стовпець– матриця розмірності |
|
|
Діагональна матриця– квадратна матриця, в якій всі елементи, що знаходяться поза головною діагоналлю, дорівнюють нулю |
|
|
Одиничнаматриця– діагональна матриця, в якій всі елементи, що містяться на головній діагоналі, дорівнюють одиниці (позначають літероюЕ) |
|
|
Трикутна матриця– матриця, всі елементи якої під (над) головною діагоналлю дорівнюють нулю |
|
|
Нульова матриця– матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю |
,
яка містить всього один рядок
,
яка містить всього один стовпець
Дії над матрицями
| |
|
Дві матриці нази-ваються рівними, якщо рівні їх відповідні елементи |
Якщо
то
коли
|
| |
|
Щоб помножити матрицюна дійсне числовідмінне від нуля, необхідно кожен елемент матриці помножити на це число |
Якщо
то
|
| |
|
Щоб знайти суму (різницю) двох матриць(однако-вого розміру), необхідно скласти (відняти) елементи з однаковими індек-сами (що розташо-вані на однакових місцях)
Зауваження.Додавати (віднімати) можна лише матриці з однаковою кіль-кістю рядків і стовпців |
Якщо
то
Властивості операції додавання (віднімання) матриць:
|
та
,
,
(
;
)
та
,
:
,
та
,
:
(комутативність);
(асоціативність);
(дистрибутивність);
(нейтральність
нульової матриці)
Продовження
| |
|
Транспонованою
матрицею |
Якщо
то
|
| |
|
Добутком двох матриць є матриця, елементи якої знахо-дяться як скалярний добутокi-го вектор-рядка першої матри-ці наj-й вектор-стовпецьдругої. Зауваження.Перемножувати можна лише такі дві матриці, в якихкількість стовпців першої збігається з кількістю рядків другої. Кількість рядків результуючої матриці дорівнює кількості рядків першої матриці, а кількість стовпців – кількості стовпців другої |
Якщо
( Наприклад: добуток двох матриць 2-го порядку:
Властивості добутку матриць:
|
до матриці
нази-вається така матриця, в якій
рядки та стовпці міняються місцями
:
,
:
.
,
і
,
то
,
;
).
.
;
;
;
;
;