3. Диференціювання функцій, заданих параметрично

3.1.Якщо функціязадана параметрично двома рівняннями,,, то її похідні обчислюються за формулами:

, .

3.2.Приклади.а) Знайтий, якщо функціязадана параметрично:.

Розв’язання. Послідовно знаходимо похідні: ,;,;

; .

б) Написати рівняння дотичної до кривої у точці.

Розв’язання. Рівняння дотичної шукаємо у вигляді:

де ;.

Знайдемо при. Так як

,

,

то , томyприі рівняння дотичної має вигляд:.

Завдання 3.Для функцій, заданих параметрично, знайти першута другупохідні.

1. 11. 21.

2. 12. 22.

3. 13. 23.

4. 14. 24.

5. 15. 25.

6. 16. 26.

7. 17. 27.

8. 18. 28.

9. 19. 29.

10. 20. 30.

4. ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ ФУНКЦІЙ, ЗАДАНИХ НЕЯВНО

4.1.Рівняннязадає неявно функцію, на інтервалі, якщо для всіхвиконується рівність.

Для обчислення похідної функції треба продиференціювати пототожність, пам'ятаючи, щоє функція від, а потім отримане рівняння розв’язати відносно.

4.2. Приклади.а) Знайти значенняу точцідля функції, заданої неявно рівнянням.

Розв’язання. Диференціюючи по обидві частини даного рівняння та вважаючи при цьому, щоє функцією від, одержуємо:

,

звідки: .

Знаходимо значення у точці:

.

б) Знайти величину кута між дотичними, проведеними в точках перетину кривої з віссю. Зробити креслення.

Розв’язання. За аналогією з попереднім прикладом, знаходимо:

(*)

Точки перетину даної кривої із прямою знаходимо з розв’язку наступної системи:

Таких точок дві: і.

Враховуючи, що ,, знаходимо згідно з (*) кутовий коефіцієнтдотичної до даної кривої в точціА:

.

Аналогічно знаходимо кутовий коефіцієнт дотичної в точці В:

.

Кут задовільняє рівності, отже, звідки126055.

Перш ніж зробити креслення, перетворимо початкове рівняння кривої у рівняння, що визначає коло із центром у точціта радіусом(рис. 4.3).

Рис. 4.3

Завдання 4.Знайти значенняу точцідля функцій, заданих неявно.

	5x2 + 3xy – 2y2 + 2 = 0	M (0; 1)
	x3 – 2x2 + y2 = 0	M (1; 1)
	x2 + xy + y2 = 7	M ( –1; –2)
	2x3 – xy + y – 2 = 0	M (1; 5)
	x3 + y3 – 3xy + 1 = 0	M ( –2;1)
	3x2 – xy + y – 3 = 0	M (1; –2)
	x2 + 2y2 + 6x – 4y – 13 = 0	M (1; –1)
	3x2 – 5y2 – 6x – 20y + 25 = 0	M (2; 1)
	4x2 + y2 + 8x – 4y + 3 = 0	M (0; 1)
	x3 – 2x2 y2 + 5x + y – 5 = 0	M (1; 1)
	2x2 – 9y2 + 4x + 18y + 11 = 0	M (2; –1)
	x3 – xy + y + 7 = 0	M ( –1; –3)
	x2 + y2 – 4x – 10y + 19 = 0	M (3; 2)
	x4 – y2 – y – 1 = 0	M (1; 0)
	x3 + 2xy2 + y + 11 = 0	M ( –1; –2)
	x3 + x2y + y2 – 13 = 0	M (1; 3)
	x3 + 5xy + y3 – 7 = 0	M (1; 1)
	x2 + 5xy + y2 – 2x + y – 6 = 0	M (1; 1)
	3x2 – xy + y3 – x = 0	M (0; 2)
	x 6 + y 6 – 2xy = 0	M(1; 1)
	x 2 +x2 y – y2 – y = 0	M (1; 1)
	x4 – 6x2y2 + 9y2 – 5x2 + 15y2 + 4 = 0	M (2; 1)
	7x2 + xy – y3 + 3 = 0	M (1; –2)
	x2y2 + xy + x2 – 7 = 0	M (1; 2)
	2x5 + y5 – 2xy + 26 = 0	M (1; –2)
	x5 + y5 – 2xy = 0	M (1; 1)
	3x2 – xy + y 2 + x – 34 = 0	M( –2; 4)
	x2 + 2xy2 + 3y4 – 6 = 0	M (1; –1)
	x2 – x2 y + y 2 = 13	M ( –1; –3)
	x2 y2 – 4y3 – x = 4	M (0; –1)

Завдання 5. Знайти величину кута між дотичними, проведеними в точках перетину кривоїз віссю. Зробити креслення.

	x 2+ y 2 + 2x + 2y –3 = 0.		x 2 + y 2 – 2x + 4y –3 = 0.
	x 2 + y 2 + 10x + 9 = 0.		x 2 + y 2 + 6x + 6y + 8 = 0.
	x 2 + y 2 + 4x + 2y + 3 = 0.		x 2 + y 2 + 4x – 2y – 4 = 0.
	x 2 + y 2 + 6x – 6y + 8 = 0.		x 2 + y 2 + 4x – 4y + 3 = 0.
	x 2 + y 2 + 6x + 2y + 1 = 0.		x 2 + 6x + y 2 – 2y + 1 = 0.
	x 2 + 10x+ y 2 – 6y +16 = 0.		x 2 + y 2 + 14x + 40 = 0.
	x 2 + y 2 – 6x – 2y + 6 = 0.		x 2 + y 2 – 10 x+ 9 = 0.
	x 2 + y 2 + 10x + 6y + 16 = 0.		x 2 + y 2 – 4x + 2y + 3 = 0.
	x 2 + y 2 – 2x + 4y – 20 = 0.		x 2 + 6x + y 2 – 2y + 6 = 0.
	x 2 + y 2 – 4y – 4 = 0.		x 2 – 6x + y 2 – 6y + 8 = 0.
	x 2 + y 2 – 14x + 40 = 0.		x 2 + y 2 – 2x + 6y – 6 = 0.
	x 2 + y 2 – 6x + 6y + 8 = 0.		x 2 + y 2 – 6x + 2y + 1 = 0.
	x 2 + 4x + y 2 – 2y + 3 = 0.		x 2 + 4x + y 2 + 2y – 4 = 0.
	x 2 + y 2 + 4x – 4 = 0.		x 2 + y 2 + 2x – 2y – 4 = 0.
	x 2 + 4x + y 2 – 2y – 3 = 0.		x 2 + y 2 + 2x + 4y – 4 = 0.