Создание матриц с заданными свойствами

Для создания единичной матрицы (она обычно обозначается как Е) служит функция eye:

• еуе(n) — возвращает единичную матрицу размера nxn;

• eye(m,n) или еуе([m n]) — возвращают матрицу размера mn с единицами по диагонали и нулями в остальных ячейках;

• eye(size(A)) — возвращает единичную матрицу того же размера, что и А.

eye(5,2)

Создание матрицы с единичными элементами

Для создания матриц, все элементы которых — единицы, используется функция ones:

• ones(n) — возвращает матрицу размера nхn, все элементы которой — единицы;

• ones(m,n) или ones([m n]) — возвращают матрицу размера mxn, состоящую из единиц;

• ones(dl,d2,d3....) или ones([d1 d2 d3...]) — возвращает массив из единиц с размером d1xd2xd3x...;

• ones(size(A)) — возвращает массив единиц той же размерности и размера, что и А. Матрица с единичными элементами в отличие от единичной матрицы в MATLAB определена и для многомерных массивов.

ones(l,2,3)Создание матрицы с нулевыми элементами .Иногда нужны матрицы, все элементы которых — нули. Следующая функция обеспечивает создание таких матриц:

• zeros(n) — возвращает матрицу размера nхn, содержащую нули. Если n — не скаляр, то появится сообщение об ошибке;

• zeros(m,n) или zeros([m n]) — возвращают матрицу размера mxn, состоящую из нулей;

• zeros(d1,d2,d3,...) или zeros([d1 d2 d3...]) — возвращают массив из нулей размера d1xd2xd3x...;

• zeros(size(A)) — возвращает массив нулей того же размера и размерности, что и А. Создание линейного массива равноотстоящих точек /Функция linspace формирует линейный массив равноотстоящих узлов. Это подобно оператору :, но дает прямой контроль над числом точек. Применяется в следующих формах:

• linspace(a,b) — возвращает линейный массив из 100 точек, равномерно распределенных между а и b;

• linspace(a,b,n) — генерирует n точек, равномерно распределенных в интервале от а до b.

Создание массивов со случайными элементами р = randperm(n) — возвращает случайные перестановки целых чисел 1:n в векторе-строке. Пример: randperm(6)ans = 243651 Функция rand генерирует массивы случайных чисел, значения элементов которых равномерно распределены в промежутке (0, 1):

• rand(n) — возвращает матрицу размера nхn. Если n — не скаляр, то появится сообщение об ошибке;

• rand(m,n) или rand([m n]) — возвращают матрицу размера mxn;

• rand(m,n,p....) или rand([m n р...]) — возвращает многомерный массив;

• rand(size(A)) — возвращает массив того же размера и размерности, что и А, с элементами, распределенными по равномерному закону;

• rand (без аргументов) — возвращает одно случайное число, которое изменяется при каждом последующем вызове и имеет равномерный закон распределения;

• rand(' state') — возвращает вектор с 35 элементами, содержащий текущее состояние генератора случайных чисел с равномерным распределением.

X=rand(1000,1);

Y=rand(1000,1);

plot(X,Y,'.')

Вычисление произведений

Несколько простых функций служат для перемножения элементов массивов:

• prod(A) — возвращает произведение элементов массива, если А — вектор, или вектор-строку, содержащую произведения элементов каждого столбца, если А — матрица;

• prod (A, dim) — возвращает матрицу (массив размерности два) с произведением элементов массива А по столбцам (dim=l),  по строкам(dim=2), по иным размерностям в зависимости от значения скаляра dim.

Суммирование элементов

Определены следующие функции суммирования элементов массивов:

• sum(A) — возвращает сумму элементов массива, если А — вектор, или вектор-строку, содержащую сумму элементов каждого столбца, если А — матрица;

• sum(A,dim) — возвращает сумму элементов массива по столбцам (dim-1), строкам (dim=2) или иным размерностям в зависимости от значения скаляра dim.

Поворот матриц

Следующая функция обеспечивает поворот матрицы (по расположению элементов): rot90(A) — осуществляет поворот матрицы А на 90° против часовой стрелки;

• rot90(A,k) — осуществляет поворот матрицы А на величину 90*k градусов, где k — целое число.

Матричные операции линейной алгебрыВычисление нормы и чисел обусловленности матрицыПусть А —матрица. Тогда n=norm(A) эквивалентно n=norm(А,2) и возвращает вторую норму, т. е. самое большое сингулярное число А. Функция n=norm(A, 1) возвращает первую норму, т. е. самую большую из сумм абсолютных значений элементов матрицы по столбцам. Норма неопределенности n=norm(A, inf) возвращает самую большую из сумм абсолютных значений элементов матрицы по рядам.

A=[2,3,1;1,9,4;2,6,7]

norm(A,1)

Числа обусловленности матрицы определяют чувствительность решения системы линейных уравнений к погрешностям исходных данных. Следующие функции позволяют найти числа обусловленности матриц:

• cond(X) — возвращает число обусловленности, основанное на второй норме, то есть отношение самого большого сингулярного числа X к самому малому. Значение cond(X), близкое к 1, указывает на хорошо обусловленную матрицу;

• с = cond(X) — возвращает число обусловленности матрицы, основанное на второй норме.