Динамика билеты / 35Обобщённые координаты. Обобщённые силы

Обобщенные координаты – это независимые параметры однозначно определяющие положение механической системы в пространстве. Число обобщенных координат соответствует числу степеней свободы.

На рисунках 3.1, а; 3.1, б система имеет одну степень свободы, поэтому положение системы определяется одной обобщающей координатой  s - на рисунке 3.1, а,  φ - на рис. 3.1, б.

Обобщенные координаты могут иметь размерность длины (метр) или угла поворота (радиан). На рисунке 3.1, в положение пластинки в плоскости может быть определено, если мы будем знать положение на этой плоскости какого-то отрезка, принадлежащего пластинке (например AB ). А для этого нужно знать координаты какой-либо точки (например A) и угол наклона отрезка к какой-то оси, то есть в этом примере обобщенными координатами будут: x_A ,    y_A,    φ.  

Рисунок 3.1

В     аналитической    механике    принято обозначать обобщенные координаты  символом  q_j. Например (рисунок 3.1, г) для системы с  степенями свободы обобщенными координатами будут:  q_1,q_2...q_j...q_s , т.е. параметры, с помощью которых можно определить положение любой точки механической системы

 r_i = r_i(q_1,q_2...q_j...q_s) .

Обобщенной силой  Q_i, соответствующей обобщенной координате  q_j, называют скалярную величину, определяемую отношением  элементарной работы действующих сил на перемещении механической системы, вызванном изменением обобщенной координаты  q_j, к величине приращения этой координаты  δq_j:

  Q_i = δA_j/δq_j   или   δA_j = Q_i⋅ δq_j.

Размерность обобщенной силы зависит от размерности обобщенной координаты и может выражаться в единицах силы [Н], момента [Н∙м]. Число обобщенных сил для данной системы соответствует числу обобщенных координат.

При необходимости можно сосчитать обобщенные силы от внешних сил (Q_i^F), обобщенные силы реакций связей ( Q_i^R), обобщенные силы от сил инерции (Q_i^Φ).

Радиус-вектор произвольной точки механической системы есть функция обобщенных координат: r_i = r_i(q_1,q_2...q_j...q_s), поэтому приращение радиуса-вектора, вызванное изменением, например, обобщенной координаты  q_j, будет

тогда работа приложенных к системе сил на малом перемещении будет 

То есть обобщенная сила может быть выражена соотношением

Расписав скалярное произведение, получим

Для консервативной системы силы поля, действующие на точки механической системы, выражаются соотношениями

Учитывая, что радиус-вектор любой точки и потенциальная энергия системы есть функция координат и, следовательно, обобщенных координат, можно получить из выражения (3.1):