Моделирование систем / Лекции / P-схемы

ДИСКРЕТНО-СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ (P-СХЕМЫ)

Рассмотрим особенности построения математических схем при дискретно-стохастическом подходе к формализации процесса функционирования исследуемой системы S. Поскольку сущность дискретизации времени при этом подходе остается аналогичной рассмотренной в конечных автоматах, то влияние фактора стохастичности проследим также на разновидности таких автоматов, а именно на вероятностных (стохастических) автоматах.

Основные соотношения. В общем виде вероятностный автомат (англ. probabilistic automat) можно определить как дискретный потактный преобразо­ватель информации с памятью, функционирование которого в каж­дом такте зависит только от состояния памяти в нем и может быть описано статистически.

Применение схем вероятностных автоматов (Р-схем) имеет важное значение для разработки методов проектирования дискретных систем, проявляющих статистически закономерное случайное поведение, для выяснения алгоритмических возможностей таких систем и обоснования границ целесообразности их использования, а также для решения задач синтеза по выбранному критерию дис­кретных стохастических систем, удовлетворяющих заданным огра­ничениям.

Введем математическое понятие Р-автомата, используя понятия, введенные для F-автомата. Рассмотрим множество G, элементами которого являются всевозможные пары , где и - эле­менты входного подмножества X и подмножества состояний Z соответственно. Если существуют две такие функции и , что с их помощью осуществляются отображения и , то гово­рят, что определяет автомат детерминирован­ного типа.

Введем в рассмотрение более общую математическую схему. Пусть F - множество всевозможных пар вида , где - эле­мент выходного подмножества Y. Потребуем, чтобы любой элемент множества G индуцировал на множестве F некоторый закон рас­пределения следующего вида:

Элементы из F			…
			…

При этом , где - вероятности перехода автомата в состояние и появления на выходе сигнала , если он был в состоянии и на его вход в этот момент времени поступил сиг­нал . Число таких распределений, представленных в виде таблиц, равно числу элементов множества G. Обозначим множество этих таблиц через В. Тогда четверка элементов назы­вается вероятностным автоматом (Р-автоматом).

Пусть элементы множества G индуцируют некоторые законы распределения на подмножествах Y и Z, что можно представить соответственно в виде:

Элементы из Y			…
			…
Элементы из Z			…
			…

При этом и , где и - вероятности перехода Р-автомата в состояние и появления выходного сигнала при условии, что Р-автомат находился в состоянии и на его вход поступил входной сигнал .

Если для всех k и j имеет место соотношение , то такой Р-автомат называется вероятностным автоматом Мили. Это требование означает выполнение условия независимости рас­пределений для нового состояния Р-автомата и его выходного сиг­нала.

Пусть теперь определение выходного сигнала Р-автомата зави­сит лишь от того состояния, в котором находится автомат в данном такте работы. Другими словами, пусть каждый элемент выходного подмножества Y индуцирует распределение вероятностей выходов, имеющее следующий вид:

Элементы из Y			…
			…

Здесь , где - вероятность появления выходного сигнала при условии, что Р-автомат находился в состоянии .

Если для всех k и i имеет место соотношение , то такой Р-автомат называется вероятностным автоматом Мура.

Возможные приложения. Понятие Р-автоматов Мили и Мура введено по аналогии с детер­минированным F-автоматом, задаваемым . Част­ным случаем Р-автомата, задаваемого как , явля­ются автоматы, у которых либо переход в новое состояние, либо выходной сигнал определяются детерминировано. Если выходной сигнал Р-автомата определяется детерминировано, то такой автомат называется Y-детерминированным вероятност­ным автоматом. Аналогично, Z-детерминированным вероятностным автоматом называется Р-автомат, у ко­торого выбор нового состояния является детерминированным.

Пример 1. Рассмотрим Y-детерминированный P-автомат, который задан таблицей переходов (табл. 6) и таблицей выходов:

			…
			…

Таблица 6

В этих таблицах - вероятности перехода Р-автомата из состояния в состояние . При этом, как и ранее, .

Таблицу 6 можно представить в виде квадратной матрицы размерности , которую будем называть матрицей переходных вероятно­стей или просто матрицей переходов Р-автомата. В общем случае такая мат­рица переходов имеет вид

.

Для описания Y-детерминированного Р-автомата необходимо задать на­чальное распределение вероятностей вида:

			…
			…

Здесь - вероятность того, что в начале работе Р-автомат находится в состоянии . При этом .

Будем считать, что до начала работы (до нулевого такта времени) Р-ав­томат всегда находится в состоянии и в нулевой такт времени меняет состоя­ние в соответствии с распределением D. Дальнейшая смена состояний Р-автомата определяется матрицей переходов . Информацию о начальном состоянии Р-автомата удобно внести в матрицу , увеличив ее размерность до . При этом первая строка такой матрицы, сопоставляемая состоя­нию , будет иметь вид , а, первый столбец будет нулевым.

Описанный Y-детерминированный Р-автомат можно задать в виде ориенти­рованного графа, вершины которого сопоставляются состояниям автомата, а ду­ги - возможным переходам из одного состояния в другое Дуги имеют веса, соответствующие вероятностям перехода , а около вершин графа пишутся значения выходных сигналов, индуцируемых этими состояниями.

Очевидно, что с точки зрения математического аппарата зада­ние Y-детерминированного Р-автомата эквивалентно заданию не­которой дискретной марковской цепи с конечным множеством со­стояний. Поэтому аппарат марковских цепей является основ­ным при использовании Р-схем для аналитических расчетов.

Пример 2. Пусть задан Y-детерминированный Р-автомат

Z
Y	0	0	1	1	0

На рис. 7 показан граф переходов этого автомата. Требуется оценить сум­марные финальные вероятности пребывания этого Р-автомата в состояниях и .

Рис. 7. Граф вероятностно­го автомата

При использовании аналитического подхода можно записать известные соот­ношения из теории марковских цепей и получить систему уравнении для опреде­ления финальных вероятностей. При этом начальное состояние можно не учи­тывать, так как начальное распределение не оказывает влияния на значения фи­нальных вероятностей. Тогда имеем

; ,

где - финальная вероятность пребывания Р-автомата в состоянии .

Получаем систему уравнений

Добавим к этим уравнениям условие нормировки . Тогда, решая систему уравнений, получим , , , . Таким образом, . Другими сло­вами, при бесконечной работе заданного в этом примере Y-детерминированного Р-автомата на его выходе формируется двоичная последова­тельность с вероятностью появления единицы, равной .

Подобные Р-автоматы могут ис­пользоваться как генераторы марковских последовательностей, которые не­обходимы при построении и реализа­ции процессов функционирования сис­тем S или воздействий внешней сре­ды Е.

Для оценки различных характерис­тик исследуемых систем, представляе­мых в виде Р-схем, кроме рассмотрен­ного случая аналитических моделей можно применять и имита­ционные модели, реализуемые, например, методом статистического моделирования.