1. Матрицы. Операции

1. МАТРИЦЫ

Терминология и обозначения

1.1. Что такое матрица? Сколько элементов содержит матрица, имеющая строк и столбцов? Что могут представлять собой элементы матрицы? Как обозначают матрицы и их элементы?

1.2. Приведите пример матрицы размера , запишите матрицу такого размера в общем виде.

1.3. Запишите в общем виде матрицу размера . Как обозначается ее элемент, стоящий в строке с номером и столбце с номером ?

1.4. В каком случае матрицу называют:

а) матрицей - строкой; б) матрицей - столбцом; в) квадратной матрицей; г) ступенчатой матрицей ? Приведите примеры таких матриц. Запишите эти матрицы в общем виде.

1.5. В каком случае квадратную матрицу называют:

а) нулевой; б) диагональной; в) единичной; г) верхней (нижней) треугольной? Приведите примеры таких матриц. Запишите эти матрицы в общем виде.

Линейные операции над матрицами

1.6. В каком случае две матрицы и называют равными?

1.7. Найдите из условия равенства матриц и .

1.7. Как определяется операция сложения матриц? Как должны быть согласованы размеры матриц-слагаемых?

1.8. Даны матрицы и . Найдите матрицы:

а) ; б) .

1.9. Докажите, что операция сложения матриц с числовыми элементами является коммутативной и ассоциативной.

1.10. Как определяется операция умножения матрицы на число? Приведите пример.

1.11. Как определяется операция вычитания матриц?

1.12. Какие операции над матрицами называют линейными? Что такое линейная комбинация однотипных матриц?

1.13. Даны матрицы и из задания 1.8. Найдите матрицы:

а) ; б) .

1.14. Пусть и - матрицы одинаковых размеров с числовыми элементами, ,. Докажите следующие свойства линейных операций:

а); б) (как называется это свойство?); в) .

Умножение матриц

1.15. Как должны быть согласованы размеры матриц-множителей, чтобы операция умножения была определена? Матрица какого размера при этом получается?

1.16. Сформулируйте определение произведения матриц.

1.17. Даны матрицы: и . Найдите следующие элементы матрицы : ; ; .

1.18. Выполните действия:

а) ; б) ;

в) .

1.19. Даны матрицы и . Найти произведения: и . Обладает ли операция умножения матриц свойством коммутативности? Как называют матрицы, для которых имеет место коммутативность умножения?

1.20. Найдите все матрицы, перестановочные с данной:

а); б) .

1.21. Выполните действие: .

1.22. Используя операцию умножения матриц, запишите систему уравнений в виде матричного равенства.

1.23. Пусть . Найдите произведения и е - единичная матрица соответствующего размера. Сделайте выводы.

1.24*. Докажите, что умножение матриц а) ассоциативно; б) дистрибутивно относительно сложения.

1.25. Какого размера должна быть матрица, чтобы ее можно было умножить саму на себя?

1.26. Как определяется натуральная степень квадратной матрицы?

1.27. Выполните действия:

а) ; б) , ; в) .

1.28*. Найдите все матрицы , квадраты которых равны нулевой матрице.

1.29*. Найдите все матрицы , квадраты которых равны единичной матрице.

1.30. Найдите значение многочлена от матрицы :

а) , ;

б) , .

Транспонирование матриц

1.31. В чем состоит операция транспонирования матрицы? Как связаны размеры матриц и ?

1.32. Транспонируйте следующие матрицы:

а) ; б) ; в) .

1.33. Докажите следующие свойства операции транспонирования:

а) ; б) , ; в) ;

г)* .

1.34. Выполните действия: ,

где , , .

1.35. Какой должна быть матрица, чтобы при транспонировании она не изменилась?

1.36. Дайте определения симметрической и кососимметрической матриц. Приведите примеры таких матриц.

1.37*. Докажите, что любую квадратную матрицу можно представить, причем единственным способом, в виде суммы симметрической и кососимметрической матриц. Представьте матрицу таким образом.

4