Вопросник по матану за 1й сем 2го курса

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

За 1 семестр 2 курса, лектор И.А.Андреева.

ЧАСТЬ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

1.1. Основные определения: дифференциального уравнения, решения, общего решения, частного решения, интегральной кривой, особой точки, понятие о задаче Коши. Формулировка теоремы Коши. Примеры.

1.2. Дифференциальные уравнения 1 порядка: определение, геометрический смысл уравнения

(поле направлений). Пример.

1.3. Уравнения с разделяющимися переменными. Пример.

1.4. Однородные уравнения. Сведение к уравнениям с разделяющимися переменными. Примеры.

1.5. Линейные уравнения. Метод Лагранжа (вариации произвольной постоянной) и замены неизвестной функции произведением функций. Примеры.

1.6. Уравнение Бернулли. Методы решения (примеры).

1.7. Уравнения в полных дифференциалах. Примеры. Интегрирующий множитель.

1.8. Дифференциальные уравнения второго порядка. Определение. Формулировка теоремы Коши. Задача Коши для уравнений 2 порядка. Пример.

1.9. Уравнения 2 порядка, допускающие понижение порядка. Примеры.

1.10. Уравнения высших порядков. Пример.

1.11. Линейные дифф. уравнения. Линейные однородные дифф. уравнения. Понятие линейной зависимости и независимости функций. Определитель Вронского (2 теоремы).

1.12. Теорема о структуре общего решения линейного однородного д.у. Пример.

1.13. Линейные неоднородные дифф. уравнения. Теорема о структуре общего решения. Пример.

1.14. Линейные однородные дифф. уравнения с постоянными коэффициентами. Теорема. Пример.

1.15. Линейные неоднородные дифф. уравнения. Метод вариации произвольных постоянных.

1.16. Линейные неоднородные дифф. уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

1.17. Комплексные числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Формула Муавра. Корень из комплексного числа.

ЧАСТЬ 2. РЯДЫ.

2.1. Понятие числового ряда. Числовые последовательности, ассоциируемые с числовым рядом. Основные определения. Терминология. Ряд, составленный из членов геометрической прогрессии: условия его сходимости и расходимости (с выводом).

2.2. Свойства сходящихся рядов. Теоремы с д-вами.

2.3. Необходимый признак сходимости ряда с д-вом. Расходимость гармонического ряда (д-во).

2.4. Ряды с неотрицательными членами. Необходимый и достаточный признак сходимости (с д-вом).

2.5. Достаточные условия сходимости ряда. Признак сравнения в предельной и непредельной форме

(с д-вом). Примеры.

2.6. Достаточные условия сходимости ряда. Признак Д"Аламбера с д-вом. Примеры.

2.7. Достаточные условия сходимости ряда. Признак Коши (без д-ва). Примеры.

2.8. Интегральный признак сходимости ряда. Доказательство. Примеры.

Исследование ряда вида .

2.9. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Доказательство. Примеры.

2.10. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость рядов. Теорема (из сходимости ряда, составленного из модулей членов знакопеременного ряда, следует сходимость исходного ряда) с д-вом.

2.11. Степенные ряды. Основные определения. Примеры. Первая теорема Абеля и ее следствие с доказательствами. Геометрический смысл.

2.12. Функциональный ряд. Понятие равномерной сходимости функционального ряда.

2.13. Теорема об определении радиуса сходимости степенного ряда с д-вом. Примеры.

2.14. Свойства почленной интегрируемости и дифференцируемости степенных рядов (формулировки теорем). Степенные ряды общего вида.

2.15. Разложение функций в степенные ряды. Доказательство единственности разложения. Ряды Маклорена и Тейлора: общий вид.

2.16. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда Маклорена на интервале. Теорема с доказательством.

2.17. Разложения основных элементарных функций: экспоненты, синуса, косинуса в ряды Маклорена. Применение теоремы о почленной дифференцируемости степенного ряда. Пример использования разложения синуса для вычисления «неберущегося» интеграла

2.18. Разложения логарифма ln(1+x) и арктангенса в ряды Маклорена с применением теоремы о почленной интегрируемости степенного ряда.

2.19. Тригонометрический ряд: определение, основные свойства. Периодичность и ортогональность семейства функций вида 1/2, cosnx, sinnx, n N.

2.20. Теорема о единственности разложения функции в тригонометрический ряд (с д-вом).

2.21. Ряд Фурье: определение, теорема Дирихле о сходимости ряда Фурье (без д-ва).

2.22. Ряды Фурье для чётных и нечётных функций. Примеры.

2.23. Ряд Фурье с периодом 2ℓ. Примеры.