Катьянов-Куралесова- МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ / МО в примерах и задачах
.pdfТретья итерация. 1. Решаем задачу A:
¾! min;
<c; p > ¡¾ ´ p3 ¡ ¾ · 0;
<'03(x2); p > ¡¾ ´ ¡0:3p1 ¡ 4p2 ¡ p3 ¡ ¾ · 0;
¡p1 ¡ 1 · 0; p1 ¡ 1 · 0; ¡p2 ¡ 1 · 0; p2 ¡ 1 · 0:
Решив, получим p2 = (1; 1; ¡2:15)>; ¾2 = ¡2:15 < ¡±2; ±3 = ±2 = 0:5.
2.Как и выше, определим величину шага ®2: ®2 = 0:36, ïðè ýòîì '2(x2 + ®2p2) ¼ 0.
3.Определение новой точки и множеств индексов:
x3 = x2 + ®2p2 = (¡0:29; 1:01; ¡0:57)>; J(x3; ±3) = f1; 2g;
òàê êàê '1(x3) = ¡0:32 > ¡±3; '2(x3) = ¡0:03 > ¡±3; '3(x3) = ¡0:68 < ¡±3.
Четв¼ртая итерация. 1. Решаем задачу A:
¾! min;
<c; p > ¡¾ ´ p3 ¡ ¾ · 0;
<'01(x3); p > ¡¾ ´ ¡0:56p1 + 2:46p2 ¡ p3 ¡ ¾ · 0;
<'02(x3); p > ¡¾ ´ ¡1:58p1 + 3:02p2 ¡ p3 ¡ ¾ · 0;
¡p1 ¡ 1 · 0; p1 ¡ 1 · 0; ¡p2 ¡ 1 · 0; p2 ¡ 1 · 0:
Решив, получим p3 = (1; ¡1; ¡1:51)>; ¾3 = ¡1:51 < ¡±3. Значит, опять ±4 = ±3 = 0:5.
2. Как и выше, определим величину шага ®3: ®3 = 0:12, ïðè ýòîì '3(x3 + ®3p3) = 0
(вычисления проводим с точностью до 0.01).
3. Определение новой точки и множеств индексов:
x4 = x3 + ®3p3 = (¡0:17; 0:89; ¡0:75)>; J(x4; ±4) = f1; 2; 3g;
òàê êàê '1(x4) = ¡0:49 > ¡±4; '2(x4) = ¡0:37 > ¡±4; '3(x4) = 0.
Пятая итерация. 1. Решаем задачу A:
¾! min;
<c; p > ¡¾ ´ p3 ¡ ¾ · 0;
<'01(x4); p > ¡¾ ´ ¡0:56p1 + 2:22p2 ¡ p3 ¡ ¾ · 0;
<'02(x4); p > ¡¾ ´ ¡1:34p1 + 2:78p2 ¡ p3 ¡ ¾ · 0;
<'03(x4); p > ¡¾ ´ 0:66p1 ¡ 4p2 ¡ p3 ¡ ¾ · 0;
¡p1 ¡ 1 · 0; p1 ¡ 1 · 0; ¡p2 ¡ 1 · 0; p2 ¡ 1 · 0:
Решив эту задачу, получим, что ¾4 = 0. Значит, необходимо решить задачу B. Òàê êàê I(x4) = f3g, то решаем задачу линейного программирования:
¾! min;
<c; p > ¡¾ ´ p3 ¡ ¾ · 0;
<'03(x4); p > ¡¾ ´ 0:66p1 ¡ 4p2 ¡ p3 ¡ ¾ · 0;
¡p1 ¡ 1 · 0; p1 ¡ 1 · 0; ¡p2 ¡ 1 · 0; p2 ¡ 1 · 0:
71
Получим p4 = (¡1; 1; ¡2:33)>, ïðè ýòîì ¾4 = ¡2:33 < 0. Следовательно, ±5 = ±4=2 =
0:25; p4 = p4.
2. Определение шага ®4. Двигаемся вдоль луча
x1 = ¡0:17 ¡ ®; x2 = 0:89 + ®; x3 = ¡0:75 ¡ 2:33® (® > 0):
Наименьшим из положительных корней уравнений
'j(x4 + ®p4) = 0 (j = 1; 2; 3)
является ®1 = 0:06, ïðè ýòîì '2(x4 + ®4p4) = 0.
3. Определение новой точки и множеств индексов:
x5 = x4 + ®4p4 = (¡0:23; 0:95; ¡0:88)>; J(x5; ±5) = f1; 2; 3g;
òàê êàê '1(x5) = ¡0:19 > ¡±5; '2(x5) = 0 > ¡±5; '3(x5) = ¡0:1 > ¡±5.
Шестая итерация. 1. Решаем задачу A:
¾! min;
<c; p > ¡¾ ´ p3 ¡ ¾ · 0;
<'01(x5); p > ¡¾ ´ ¡0:56p1 + 2:34p2 ¡ p3 ¡ ¾ · 0;
<'02(x5); p > ¡¾ ´ ¡1:46p1 + 2:90p2 ¡ p3 ¡ ¾ · 0;
<'03(x5); p > ¡¾ ´ ¡0:54p1 ¡ 4p2 ¡ p3 ¡ ¾ · 0;
¡p1 ¡ 1 · 0; p1 ¡ 1 · 0; ¡p2 ¡ 1 · 0; p2 ¡ 1 · 0:
Решив, получим p5 = (1; 0:18; 0:08)>; |
¾5 = |
¡ |
0:08 > |
¡ |
±5. Значит, опять происходит |
||||||||||
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
уменьшение параметра ±: ±6 = ±5=2 = 0:125. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. Определение величины шага ®5: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Двигаемся вдоль луча |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 = ¡0:23 + ®; x2 = 0:95 + 0:18®; x3 = ¡0:88 ¡ 0:08® (® > 0): |
|
|
|
|||||||||||
Наименьшим из положительных корней уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
'j(x5 + ®p5) = 0 (j = 1; 2; 3) |
|
|
|
|
|
|||||||||
является ®5 = 0:34, ïðè ýòîì '3(x5 + ®5p5) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. Определение новой точки и множеств индексов: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x6 = x5 + ®5p5 = (0:11; 1:01; ¡0:91)>; J(x6; ±6) = f1; 3g; |
|
|
|
|
||||||||||
òàê êàê '1(x6) = ¡0:05 > ¡±5; '2(x6) = ¡0:16 < ¡±5; '3(x6) = 0 > ¡±5. |
|
|
0:26)> |
, |
|||||||||||
Седьмая итерация. Последовательно, как и выше, находим p6 = ( 1; |
0:15; |
¡ |
|
||||||||||||
±7 = ±6 = 0:125, ®6 = 0:2, x7 = ( 0:09; 0:98; |
¡ |
0:96)>. |
|
|
|
|
¡ |
¡ |
|
|
|||||
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Восьмая итерация. Находим p7 |
= (0:3; 0:03; |
¡ |
0:18)>, ±8 = ±7 = 0:125, ®7 = 0:09, |
||||||||||||
x8 = ( |
0:06; 0:98; 0:98)>. |
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
Применение критерия оптимальности решения. Рассмотрим точку x¤ = (0; 1; ¡1)>
к которой, видимо, сходится последовательность точек fxkg. Имеем равенства
'1(x¤) = 0; '2(x¤) = 0; '3(x¤) = 0;
т. е. точка x¤ принадлежит всем поверхностям.
72
Решим в этой точке задачу B:
¾! min;
<c; p > ¡¾ ´ p3 ¡ ¾ · 0;
<'01(x¤); p > ¡¾ ´ 3p2 ¡ p3 ¡ ¾ · 0;
<'02(x¤); p > ¡¾ ´ ¡p1 + 3p2 ¡ p3 ¡ ¾ · 0;
<'03(x¤); p > ¡¾ ´ p1 ¡ 4p2 ¡ p3 ¡ ¾ · 0;
¡p1 ¡ 1 · 0; p1 ¡ 1 · 0; ¡p2 ¡ 1 · 0; p2 ¡ 1 · 0:
Получим min¾;p ¾ = ¾¤ = 0. В силу критерия оптимальности точка x¤ является решением задачи.
73
Библиографический список
Карманов В. Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1986. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.; Л.:
Ãîñ. èçä âî ôèç. ìàò. ëèò., 1958. Ò. 1.
Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука, 1972.
Капустин В. Ф. Практические занятие по курсу математического программирования. Л.: ЛГУ, 1976.
Заславский Ю. Л. Сборник задач по линейному программированию. М.: Наука, 1969. Глебов Н. И. и др. Методы оптимизации. Учеб. пособие / Н. И. Глебов, Ю. А. Кочетов,
А. В. Плясунов. Новосибирск: НГУ, 2000.
74