1.1.3. Довжина стоячої та біжучої хвиль

_с

_Б



z

Рис. 4.5

Н

x

ехай в моменти часуt = 0 і t = T фронт падаючої хвилі займає положення, що відмічене на рис. 4.5 через і відповідно. Якщо Т – пе-ріод гармонічного процесу, то відстань між точками і- довжина хвилі у вільному просторі. За виз-наченням, довжиною хвилі називається мінімальна від-стань між двома точками з однаковою фазою. Такі від-стані можна виділити на осях X і Z. Позначимо їх відповідно: – довжина стоячої хвилі і – довжина біжучої хвилі. Із графічної побудови видно:

, (5)

а також

. (6)

Характер зміни і в залежності від кута ілюструється графіками (рис. 6). Із розгляду залежностей на цих графіках випливає, що при довжина стоячої хвилі , а при , довжина стоячої хвилі . Це означає, що при відсутня біжуча хвиля, а при відсутня стояча хвиля .

Рис. 6

З розглянутих закономірностей зробимо висновок про те, що для отримання в певній точці спостереження потрібного значення амплітуди напруженості хвилі необхідно аналізувати всі параметри, що характеризують поширення хвилі над ідеально провідною поверхнею.

1.2. Структура поля над ідеально провідною поверхнею

Структурою поля будемо називати просторову сукупність векторів ірезультуючої хвилі. Необхідно виявити структуру поля електромагнітної хвилі і встановити відповідні закономірності для двох незалежних вихідних передумов:

- вектор падаючої хвилі перпендикулярний площині падіння;

- вектор падаючої хвилі лежить в площині падіння.

Вектор перпендикулярний площині падіння.

А) Розглянемо випадок, коли вектор в точціперпендикулярний площині падіння, тобто. В цьому випадку векторлежить в площині падіння (рис. 7) і може бути представлений як.

Напрям векторапри відомих напрямахівизначається правилом правого гвинта. Визначимо напрям векторівів точці. Зауважимо, що падаюча і відбита хвилі підсумовуються у будь-якій точціх координатної осі Х. При цьому у відбитій лінійно-поляризованій хвилі вектори імають ті ж складові по координатних осях, що і в падаючій хвилі. Тому в будь-якій точці х для результуючої хвилі виконується така умова:

. (7)

Враховуючи граничні умови для тангенціальних складових вектора на поверхні ідеального провідника (при x = 0), перепишемо вираз (7) у вигляді:

Отже, в точці , віддаленій від точки 0 на відстань  вектор спрямований назустріч вектору, тобто. При цьому напрямвектора визначається правилом правого гвинта, звідки

.

Значення ,іможна визначити, підсумовуючи миттєві значення відповідних проекцій. Нехай в точціх = 0 миттєве значення напруженості електричного поля падаючої хвилі змінюється за законом

.

Тоді, за граничними умовами,

.

Відповідно, в точці

, (8)

а в точці

. (9)

Напруженість результуючого підсумкового електричного поля в будь-якій точці х визначається підсумовуванням значень, що знайдені за співвідношеннями (8) і (9). Таким чином,

(10)

Враховуючи, що , співвідношення (10) набуває вигляду

(4.11)

У співвідношенні (11) група співмножників, що не залежать від часу, визначає амплітуду результуючої хвилі:

(12)

Зі співвідношення (12) випливає, що амплітуда результуючого поля залежить від координати х. На осі Х є точки, в яких . Такі точки називаються вузлами. Крім того, існують точки, в яких амплітуда максимальна і дорівнює . Такі точки називаються пучностями. Чергування вузлів і пучностей є прикметою режиму стоячих хвиль в напрямі осі Х. Епюри, які ілюструють режим стоячих хвиль, зображені на рис. 7.

Визначимо координату x_m будь-якого m-го вузла електричного поля. Значення (10 - 12) перетворюються в нуль в будь-якій точціх, для якої виконується співвідношення

,

де m = 0, 1, 2, 3, ... . Звідки

. (13)

Iз виразу (13) можна визначити довжину стоячої хвилі вдовж координатнохї осі Х:

.

Дане співвідношення співпадає із співвідношенням (5).

Визначимо величину таким чином. Як відомо, при дослідженні розповсюдження однорідних плоских хвиль в ідеальних діелектриках буввстановлений кількісний зв’язок амплітуд векторів іу вигляді, деє параметром середовища– хвильовий опір.

Отримаємо аналогічне співвідношення для поперечних складових падаючої хвилі, використовуючи рис. 4.7:

(14)

де – характеристичний опір. За аналогією із формули (14) одержуємо співвідношення для відбитої хвилі:

. (15)

Оскільки - дійсна додатна величина, то вираз (15) свідчить про те, що попередні складові електричного і магнітного полів якв падаючій, так і у відбитій хвилі, змінюються за одним і тим законом. Отже, за одним законом в просторі і часі змінюються обидві поперечні складові результуючого поля. Тому, на основі співвідношень (11), (14) і (15), значення можнавизна-чити однією із таких формул :

, (16)

де - максимальне значення проекції векторана вісьY як для падаючої, так і для відбитої хвилі. Аналізуючи спів-відношення (4.16), неважко помітити, що амплітуда результуючої хвилі залежить від значень координати х.

Використовуючи межові умови для тангенціальних складових вектора на межі поділу з ідеальним провідником, можна знайти закономірність змінив будь-якій точці осіХ:

, (17)

де .

Зі співвідношення (17) випливає, що перший максимум знаходиться на межі поділу , тобто в точці х = 0. Зауважимо, що вихідне електромагнітне поле взаємодіє з відбивною поверхнею не тільки в точці z = 0, але і в будь-якій іншій точці на осі Z. При заданому значенні координати х поля в точках z відрізняються від полей у точці z = 0 додатковим зсувом за фазою, значення якого визначається як . Тому в загальному випадку співвідношення (11), (16) і (17) переписуємо у вигляді:

; (18)

; (19) . (20)

Як бачимо, складові і, що визначають вектор , змінюються за фазою. Звідки випливає, що вздовж осіZ спостерігається режим біжучих хвиль. Порівнюючи закономірності зміни складових і,що визначають вектор , ба-чимо, щовони зсунуті за фазою на . Отже, вздовж осіХ ство-рюється режим стоячих хвиль, при якому перенесення енергії не відбувається.

Співвідношення (18) - (20), в яких співмножники залежать від х і z, визначають просторову структуру поля в будь-який момент часу t і в будь-якій точці простору над ідеально провідною поверхнею.

Особливою обставиною поля, що досліджується, є наявність складової вектора напруженості магнітного поля вздовж напряму розповсюдження результуючої хвилі, тобто вздовж осіZ. Це є ознакою поздовжньо-магнітної хвилі типу "Н". Таким чином, при падінні на ідеально провідну площину хвилі типу "Т" у випадку перпендикулярності вектора до площини падіння утворюється хвиля типу "Н". Очевидно, що в цій хвилі векторизорієнтовані вздовж осіY, а вектори мають замкнений характер і розміщуються в площинах,що паралельні координатній площині XOZ (рис.8). На рис. 4.8 зображена структура поля типу "Н" в момент часу t = 0.

На допоміжних осях Х і Z у вигляді епюр зображені співмножники, які входять у формули (18) - (20) і залежать від значень х і z відповідно. При побудові силових ліній електричного і магнітного полів враховуються граничні умови, які виконуються на межі поділу з ідеальним провідником.

Також слід враховувати періодичність досліджуваного процесу по осях X і Z. При перемноженні співмножників в будь-якій точці з координатами  [x, z] необхідно враховувати їхні знаки, які визначаються напрямами штрихових ліній (рис. 8) віднос-но координатних осей. Звернемо увагу на ту обставину, що в вузло-вих площинах, що розміщені на відстанях , виконують-ся ті ж граничні умови, що й на поверхні ідеального провідника.

Б) Вектор лежить в площині падіння.

Розглянемо випадок, коли век­тор в точцілежить в площині падіння, а вектор- перпендикулярний до неї. Початкова позиція і відбита хвиля зображені на рис. 9.

Використовуючи граничні умови в точці 0 для тангенціальної складової магнітного поля, встановлюємо, що на поверхні ідеаль-ного провідника магнітне поле характеризується пучністю. Тому вектори напруженості магнітного поля в точках і , які знахо-дяться на однакових відстаняхвід початку координат, рівні між собою за значенням й напрямом. Очевидно, що в розглянутому випадку, крім поперечних складових результуючого електричногоі магнітногополів з’являється поздовжня складова електричного поля паралельно векторубіжучої хвилі. Отже, в розглянутому випадку падаюча і відбита хвилі є хвилями типу "Т" і створюють над ідеально провідною поверхнею поздовжню електричну хвилю, тобто хвилю типу "Е". Послідовність виявлення законів зміни результуючих складових ,іне відрізняється від викладеної вище. Однак ці закони можна отримати й без виведення, якщо знати сутність вивчених раніше процесів.

Дійсно, в режимі стоячих хвиль пучність характеризується подвоєною амплітудою, оскільки у вузлі поля амплітуда дорівнює нулю, а закон збереження енергії повинен виконуватися. Крім того, на поверхні провідника у відповідності з граничними умовами , тому значеннязнаходиться у косинусоїдальній залежності відх. Закономірність зміни з часом може бути будь-якою, наприклад, косинусоїдальною. Таким чином,

. (21)

Складова спільно зутворюють вектор, спрямований у бік переносу енергії результуючого поля. В режимі біжучих хвиль поперечні складові повинні змінюватись за одним законом. Отже,

, (22)

де . Складоваспільно зутворює вектор, який характеризує режим стоячих хвиль, при якому перенос енергії в середньому за період відсутній. Тому відповідні складові електричного і магнітного полів повинні змінюватись у часі зі зсувом за фазою . Отже, з урахуванням формули (21) і межових умов для тангенціальних складових вектора закон зміни аналогічно з виразом (4.22) може бути виражений формулою:

, (23)

де .

Із виразів (21) і (22) визначимо характеристичний опір для хвилі типу "Е":

. (24)

Структура поля хвилі типу "Е" будується на основі спів-відношень (21) - (24) за викладеною раніше методикою і за аналогією з рис. 4.8. Структура електромагнітного поля такої хвилі над ідеально провідною площиною в момент часу t = 0 зображена на рис. 10. Із цієї структури видно, що поле характеризується пе-ріодичною зміною амплітуди по осях Х і Z, але не залежить від координати у. У площинах, які розміщені від поверхні на відстані , процеси не відрізняються від тих, які можна спостерігати безпосередньо над провідною поверхенею. Зауважимо, що вузлові площини, що утворились для даного типу хвилі, є повним аналогом провідникових поверхонь, оскільки на них виконуються граничні умови. Такий висновок є дуже важливим при конст-руюванні хвилеводних спрямовуючих систем.

Рис. 10

Розглянутий матеріал є основою для аналізу полів в спря-мовуючих системах. Найбільш поширене практичне використання знаходять спрямовуючі системи типу радіохвилеводів.