9. Хвильові рівняння

Розглянемо перші два рівняння Максвела:

При розв’язанні цієї системи доцільно використовувати метод підстановки. З цією метою до другого рівняння застосуємо оператор "ротор":

.

Ліву частину цього виразу запишемо в такому вигляді:

,

а в правій його частині замінемо, використовуючи перше рівняння Максвела. В результаті одержимо:

. (25)

Об'єднаємо третє та п'яте рівняння Максвела:

.

Тоді, за рівнянням (25), отримаємо хвильове рівняння для вектора :

, (26)

відоме як рівняння Гельмгольця. Його ліва частина описує хвильовий процес в просторі а права – зміну вектора з часом.

Аналогічним чином, застосовуючи оператор "ротор" до обох частин другого рівняння Максвела, одержимо хвильове рівняння для вектора :

, (27)

яке описує зміну вектора в просторі та часі.

Загальний вигляд хвильових рівнянь спроститься, якщо їх представити в комплексних амплітудах. Запишемо миттєве значення вектора в комплексній формі:

,

тоді перша та друга похідна у часі:

.

Підставимо ці похідні у вираз (3.26) і після скорочення на отримаємо:

. (28)

Вираз у дужках другого доданка є комплексна діелектрична проникність середовища . Тепер вираз (28) набуде вигляду:

. (29)

Аналогічним чином можна одержати комплексну форму хвильового рівняння для вектора :

. (30)

10. Класифікація електромагнітних хвиль. Поняття про

однорідні плоскі хвилі

З рівнянь Максвела випливає, що вектори тавзаємно перпендикулярні. Тому не існує такого електромагнітного поля, в якому одночасно були б присутні по три проекції кожного з них. Обов’язково має бути відсутньою принаймні одна складова будь-якого вектора вздовж напряму поширення хвилі, тобто вздовж вектору Умова-Пойнтінга . Координатну вісь, паралельно якої орієнтують, називають поздовжньою, а дві інші ортогональні осі - поперечними. В прямокутній та циліндричній системах координат поздовжньою вважають вісьz, а в сферичної - вісь r. Класифікацію електромагнітних хвиль здійснюють за наявністю або за відсутністю поздовжніх складових векторів та. Тому можливі лише таки три типи електромагнітних хвиль:

- якщо відсутні проекції E_z (E_r) та H_z (H_r), то поле називається поперечним електромагнітним (рис. 3.4) і позначається символом "Т" (від грецького слова transversus – поперечний );

- якщо присутнє H_z (H_r), то обов’язково відсутнє E_z (E_r) і поле називається поздовжньо-магнітним, позначається символом "Н" (таке поле називають також поперечно-електричним і позначають символом "ТЕ");

- якщо присутнє E_z (E_r), то обов’язково відсутнє H_z (H_r) і поле називається поздовжньо-електричним, позначається символом "Е" (таке поле називають також поперечно-магнітним і позначають символом "ТМ" ).

Поля типу "Т" існують у безмежних середовищах, двопровідних і коаксіальних лініях передавання електромагнітної енергії, а поля типів "Е" та "Н" - в радіохвилеводах і об’ємних резонаторах.

Розглянемо докладніше деякі інші особливості поперечної електромагнітної хвилі.

Замкнена поверхня, усередині якої розташоване джерело хвилі "Т" і в кожній точці якої вектори () мають однакову фазу, називається фазовою поверхнею або фронтом хвилі. Оскільки вектори і лежать на фазовій поверхні, то векторє завжди перпендикулярним фронту хвилі. Якщо при переході від однієї точки фронту хвилі до іншої значення поперечних проекцій векторів напруженості поля не змінюються, то хвиля є однорідною. Якщо на значній, відносно довжини хвилі, відстані від джерела поля в деякому тілесному куті фрагмент фронту хвилі є елементом сферичної (циліндричної) поверхні, то хвилю типу "Т" іноді називають сферичною (циліндричною) хвилею. В тому випадку, коли в межах тілесного кута кривизною фронту хвилі можна знехтувати, хвилю типу "Т" називають плоскою хвилею.

В прямокутній системі координат однорідна плоска хвиля в загальному випадку має чотири складові (проекції) векторів і, що створюють такі пари:Е_х та Н_у, Е_у та -Н_х (рис.4). Якщо хвиля є однорідною, то вектори тав усіх точках її фронту не змінюють своїх значень та напрямків. При цьому часткові похідні:

З урахуванням прийнятих припущень для плоскої однорідної хвилі значно спрощуються хвильові рівняння відносно та.