3. Перше рівняння Максвела

Перепишемо рівняння (10) з урахуванням (2):

. (11)

Величину , яка згідно з виразом (11) має розмірність густини струму, визначимо символомта назвемо густиною струму зміщення (густина струму в діелектриках). Об’єднаємо ліву та праву частину співвідношення (3.11) та представимо його як

. (12)

Відомо, що, якщо дивергенція будь-якого вектора дорівнює нулю, то існує новий вектор, ротор якого буде дорівнювати початковому вектору, тобто вектору . Очевидно, що цей новий вектор повинен мати розмірність вектора напруженості магнітного поля. Тому із співвідношення (4) випливає, що

. (13)

Співвідношення (13) – це перше рівняння Максвелла, записане в диференціній формі. У ньому – густина струму зміщення, а– густина струму провідності (це закон Ома в диференційній формі),– питома провідність середовища. Очевидно, що співвідношення (5) – окремий випадок рівняння (13), відомого як узагальнений закон повного струму.

Нехай = 0, тоді відношення (3.13) набуває вигляду:

, (14)

тобто струм зміщення, як і струм провідності, породжує вихрове магнітне поле. Знак рівності в (14) свідчить про однакову напрямленість та вектора. Оскільки вектор rot є перпендикулярним вектору за визначенням, то векторитатеж взаємно перпендикулярні.

Перше рівняння Максвела в диференційній формі зв’язує струм в конкретній точці з проекціями . Сам векторможе бути виражений через повний струм шляхом інтегрування відношення (13) по площині замкненої поверхні:

. (15)

В лівій частині (15) за теоремою Стокса (36) понизимо порядок інтегрування. Тоді (15) матиме вигляд

.

Цей вираз є інтегральною формою першого надання рівняння Максвела: циркуляція по замкненому контурудорівнює повному струму, який оточується цим контуром. Струми провідності та струми зміщення є повноправними джерелами вихрового магнітного поля.

3.4. Друге рівняння Максвела

З курсу фізики відомий закон електромагнітної індукції – закон Фарадея: електрорушійна сила в замкненому провідному контурі дорівнює швидкості зміни магнітного потоку, але з протилежним знаком:

, (16)

тобто ЕРС протидіє зміні магнітного потоку

.

Максвел узагальнив цей закон для будь-якого контуру, а не тільки провідного.

За визначенням ЕРС – це робота по переміщенню заряду з однієї точки в іншу через джерело збудження. Але цю роботу можна розглядати як різницю потенціалів, тобто ЕРС можна зв’язати з характеристиками електричного поля.

У відношенні (17) подамо ЕРС у вигляді роботи, тобто циркуляція вектора по замкненому контуру:

,

або, розкриваючи зміст лівої частини як магнітного потоку

. (17)

Для лівої частини (17) застосуємо теорему Стокса:

,

тоді

,

або

. (18)

Відношення (3.18) є другим рівнянням Максвела, що записане в диференційній формі: електричне поле, утворене магнітним полем, яке змінюється з часом, має вихровий характер.