16. Електродинамічні потенціали

Проміжною функцією при розв’язуванні задач електростатики є потенціал електростатичного поля . З однієї сторони він звя’заний з об’ємною густиною зарядів рівнянням Пуассона:

,

розв’язок якого:

,

де . З іншого боку, потенціалзв’язаний з напруженістю поля :

.

Таким чином, за відомим значенням можна знайтита, навпаки, поможна визначити.

При розв’язанні задач магнітостатики таку ж роль виконує векторний потенціал , зв’язаний з густиною струму формулою:

,

а з напруженістю магнітного поля – співвідношенням:

.

Таким чином, за відомою густиною струму можливо знайти вектор.

Наведені співвідношення стосуються статичних полів. Знайдемо тепер подібні проміжні функції та, які описують динамічне поле. Припустимо, що джерелами полів є струми провідності та заряди, яки називають сторонніми. Ці струми та заряди не залежать від напруженості поля, тому що створюються під впливом сторонніх джерел енергії.

Введемо векторний електродинамічний потенціал . Для цього скористаємося четвертим рівнянням Максвела:

.

З теорії поля відомо таке: якщо дивергенція якого-небудь вектора, наприклад , дорівнює нулю, то існує певний вектор, наприклад, такий, що його ротор дорівнює початковому вектору:

. (57)

Використовуючи матеріальне рівняння , перетворимо вираз (57):

, (58)

де (58) та– функції часу .

Таким чином, введення векторного потенціалу дозволило знайти напруженість магнітного поля.

Тепер знайдемо напруженість електричного поля . Для цього скористаємося другим рівнянням Максвелла:

.

Враховуючи співвідношення (58), це рівняння можна записати в такій формі:

.

Оскільки ротор вектора є операція диференціювання за координатами, то останнє співвідношення еквівалентне такому:

.

Відомо, що, якщо ротор вектора дорівнює нулю, то існує скалярна функція, наприклад, , градієнт якої дорівнює початковому вектору, тобто

.

При , і останнє співвідношення співпадає з відомим (4), якщо. Тому скалярну функціюзамінимо функцією, тобто на вибір знаку немає вимог. Тоді останнє відношення набуде вигляду:

. (59)

Звідси виходить, що в динамічному процесі на відміну від статичного напруженість означається не тільки електричним потенціалом, але й векторним потенціалом магнітного поля.

Тепер встановимо зв’язок електродинамічних потенціалів таз параметрами першоджерел поля.

В перше рівняння Максвела:

підставимо та, які визначаються співвідношеннями (58) та (59):

(60)

Використовуючи оператор Гамільтона, приведемо вираз (59) до вигляду:

. (61)

Це рівняння має незлічену кількість розв’язувань, тобто має дві невідомі величини: та. Його можна звести до рівняння з одним невідомим, якщо накласти такі вимоги, щоб вираз в дужках співвідношення (61) дорівнював нулю:

.

Це співвідношення між таназивається калібрувальним перетворенням Лоренца. При цьому вираз (61) спрощується:

. (62)

З співвідношення (3.62) випливає, що векторний потенціал визначається густиною струму. Приодержуємо рівняння для статики. Оскільки співвідношення (3.62) відрізняється від статичного, то буде відрізнятися і його розвя’зок.

Тепер встановимо зв’язок потенціалу з густиною зарядів. Для цього в третє рівняння Максвела

підставимо значення (3.59):

.

Перепишемо це співвідношення у вигляді:

. (63)

Враховуючи, що

,

а

,

перетворимо співвідношення (3.63):

. (64)

Знайдемо розв’язки рівнянь (64) та (64), які називаються рівняннями Даламбера. Розглянемо останнє. Його розв’язок буде найбільш простим у випадку точкового заряду. При цьому потенціал в сферичній системі координат не залежить від кутів і визначається лише відстаннювід заряду до точки спостереження. При цьому перший доданок (64) набуває вигляду:

,

а рівняння Даламбера перетворюється в таке:

. (65)

Спростимо ліву частину рівняння (65). Для цього введемо нову функцію . Диференцюючи по змінній, одержимо:

; (66)

. (67)

Підставляючи значення (66) та (67) у співвідношення (65), одержуємо хвильове рівняння:

.

Це – неоднорідне диференційне рівняння другого порядку в частинних похідних. Припустимо, що =0. Тоді це рівняння перетвориться на однорідне:

,

формальний розв’язок якого має вигляд:

.

Тут в дужках виділені аргументи відповідних функцій, – швидкість поширення процесу уздовж напрямку. Але, оскільки, то цей розв’язок є еквівалентним співвідношенню:

. (68)

Звідси випливає, що аргументи окремих функцій тазсунуті в часі відносно аргументу функціїна величину. Хвильові процеситапоширюються зі швидкістюв протилежних напрямках, зберігаючи однакові значення в усіх точкахпри зміні просторових координатних кутів. Таким чином, розв’язок відношення (3.68) описує дві сферичні хвилі, одна з яких – відходить від центра в нескінченність, а друга –рухається з нескінченності до центру.

В безмежному однорідному середовищі існують тільки хвилі, які розходяться від джерела – прямі, або падаючи хвилі. Тому далі будемо вважати, що , і

, (69)

де – поки що невідома функція часу. З електростатики відомо, що потенціалзв’язаний із значенням точкового заряду за законом Кулона:

. (70)

Зіставляючи вирази (69) та (70), помічаємо, що розмірність лівої та правої частини цих відношень будуть додержані, якщо:

.

Тому електричний потенціал змінного струму:

.

Таким чином, потенціал реєструється на відстанів момент часу, визначається значенням зарядув попередній спостереженню момент часу. Іншими словами,запізнюється по відношенню до стану заряду на час. Причиною створення потенціалу є заряд. Потенціал – це наслідок наявності заряду. Наслідок завжди відстає від причини на величину, яка визначається відстаннюта швидкістю поширення процесу. Тому стан, яким характеризується потенціал в момент часу, зумовлений станом заряду в попередній момент часу. З цих причин електродинамічні потенціали називають запізнілими.

Тепер від точкового заряду перейдемо до об’ємного з густиною . В загальному випадку :

, (71)

–відстань від елемента об’єму , що містить об’ємний заряд , який змінюється з часом, до точки спостереження, в якій визначається значення.

Аналогічним чином записується розв’язок рівняння (62) для запізнілого векторного потенціалу :

.

В ряді випадків може виявитися корисною комплексна форма запису та. Нехай, наприклад,

,

тоді комплексна форма запису має вигляд:

,

де – коефіцієнт фази. Враховуючи, що ліва частина (71) змінюється за гармонічним законом та скорочуючи її на, маємо:

.

Аналогічно цьому:

. (72)

З одержаних відношень слідує, що потенціали тавідстають за фазою від відповідних значеньтана величину, яка визначає час запізнення. Практичне значення розглянутих питань полягає в тому, що одержані знання являють собою апарат для аналізу електромагнітних полів, що збуджуються за допомогою спеціальних випромінюючих технічних систем, які називаються антенами. В основі численних видів антен лежить елементарний електричний вібратор - найпростіший випромінювач (збуджувач) енергії електромагнітного поля.