5

н-лек№1-4

Лекція 1

ВСТУП

В дисципліні «Аналітична динаміка» розглядаються найбільш загальні питання руху твердих тіл. Більш конкретні питання такі:

1. Дослідити параметри, які характеризують рух тіл (розділ «Кінематика»);

2. Дослідити рух тіл під впливом сил, що діють на тіла (розділ “Динаміка”).

Частина цих питань вам знайома з дисципліни «Фізика». Я часто буду на це посилатися.

Спочатку я нагадаю вам деякі поняття векторної алгебри.

Вектор - не напрямлений відрізок, який характеризується точкою прикладення, напрямом у просторі та величиною (рис.1).

Правила додавання та віднімання двох векторів наведено на рис.1. .

Скалярний добуток векторів та - це скаляр ..

Векторний добуток - це вектор , перпендикулярний до векторів та , напрям якого визначається правилом гвинта, а величина дорівнює .

Правило гвинта

Уявимо гвин, що обертається та напрямлений перпендикулярно до площини цих вектоів (рис.2). Гвинт, повернутий у вказаному вказанооому на рис.2 напрямку, буде зміщуватися у вказанному напямку.

Кінематика точки

Кінематика пропонує математичні засоби та методи задання положення тіл в будь-який момент часу.

Ми будемо розглядати:

• кінематику матеріальної точки;

• кінематику твердого тіла.

Відомі три методи аналізу руху точки:

• векторний метод;

• координатний метод;

• натуральний метод.

Векторний метод аналізу руху точки

Перше питання – це визначення положення точки в будь-який момент часу.

Визначимо положення точки вектором , який є функцією змінної t (час) (рис.3). Положення точки визначимо радіусом-вектором

.

Швидкість точки

Припустимо, що в момент часу t точка займає положення M (рис.3). В момент часу , де - це нескінченно мала зміна часу, точка займає положення .

Вектор визначає переміщення точки. Швидкістю точки є похідна від вектора за часом

. (1)

Припустимо, що приріст прямує до нуля. Приріст також прямує до нуля, а його напрям прямую до дотичної до траєкторії в точці M. Ми можемо сказати, що швидкість напрямлена по дотичні до траєкторії в деякий момент часу.

Ми можемо також сказати, що вектор швидкості в деякий момент часу показує напрям переміщення кінця радіуса-вектора в цей момент часу

Прискорення точки

Прискорення точки визначається як векторна міра зміна вектора швидкості

(2)

Координатний метод

Координатний метод визначення положення точки

Для виконання чисельних розрахунків звичайно використовується координатний метод. Звичайно використовується прямокутна система координат Oxyz з одиничними векторами (рис.4). Положення точки визначимо радіусом-вектором

(3)

Швидкість точки

Знайдемо похідну від лівої та правої части формули (3), враховуючи незмінність векторів

, (4)

де

.

Формулою (4) визначається швидкість точки. .

Прискорення точки

Прискорення точки визначається як векторна міра зміни швидкості точки:

, (5)

де

Натуральний метод

На рис.5 показана траєкторія точки. Функція характеризує положення рухомої точки на траєкторії. Ми говоримо, що задано натуральний метод визначення руху точки, якщо відомі:

• траєкторія,

• початок відліку ,

• додатний напрям (плюс),

• дугова координата .

Розглядається натуральна система координат (рис.6). Початок системи координат приймається в рухомій точці. Дотична вісь є дотичною до траєкторії в точці M та напрямлена у відповідності прийнятим на траєкторії додатним напрямом. Нормальна вісь напрямлена вздовж нормалі до траєкторії в точці M .до центру кривини траєкторії в цій точці. Бінормальна вісь перпендикулярна до введених осей. Додатний напрям на ній визначається за правилом гвинта.

Запишемо співвідношення Френеля:

, , (6)

де - радіус кривини.

Після диференціювання першого співвідношення отримаємо . Це є швидкість точки (рис.7):

. (7)

Вектор завжди напрямлений в додатному напрямку, а напрям вектора швидкості залежить від знака похідної .

Прискорення точки дорівнює

.

Прискорення

(8)

називається дотичним прискоренням. Воно характеризує зміну величини вектора швидкості.

Використовуючи другу формулу Френеля отримаємо

.

Прискорення

. (9)

називається нормальним прискоренням. Воно характеризує зміну напряму вектора швидкості та завжди напрямлено до центу кривини траєкторії.

Остаточно запишемо

. (10)

Зобразимо це на рис.8.

КІНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТІЛА

Найпростіші рухи твердого тіла

Відомі два найпростіші рухи твердого тіла:

- поступальний рух;

- ртальний рух навколо нерухомої осі.

Поступальний рух твердого тіла

Поступальний рух – це такий рух, коли будь-яка пряма тіла переміщується паралельно самій собі

Розглянемо тверде тіло, що рухається поступально. Виберемо дві довільні точки в тілі та (рис.9). Бачимо, що .

Так як пряма переміщується паралельно самій собі, відстань між точками та B незмінна, ми можемо сказати, що вектор є сталим вектором . Тому

. (11)

Ми можемо зробити висновок, що при поступальному русі всі точки тіла мають однакову швидкість.

Подібне твердження є справедливим для прискорень: достатньо про диференціювати формулу (11):

. (12)

Тому можна стверджувати, що при поступальному русі тіла всі точки мають однакові швидкості та однакові прискорення.

Це означає, що при при поступальному русі всі точки тіла рухаються однаково і мають однакові траєкторії. Тому для розгляду руху тіла достатньо розглянути рух будь-якої точки тіла.

Обертання тіла навколо нерухомої осі

Припустимо, що існує сукупність нерухомих точок тіла, як знаходяться на одній прямій. Ця пряма є нерухомою у просторі і називається віссю обертання. Всі інші точки тіла рухаються. Їх траєкторії є колами, які знаходяться в площинах, перпендикулярних до осі обертання.

Введемо нерухому систему координат (рис.10) та приймемо вісь як вісь обертання. Система координат зв’язана з тілом. Кут називається кутом повороту тіла.

Для визначення напряму обертання будемо використовувати правило гвинта, а саме, кут вважається додатним, якщо тіло обертається проти ходу годинникової стрілки.

Швидкість зміни кута називається кутовою швидкістю. тіла

. (13)

Визначимо вектор як

, (14)

де є одиничним вектором, напрямленим вздовж осі обертання.

Ми приймемо наступне правило: якщо тіло обертається проти ходу годинникової стрілки, вектор напрямлений в додатному напрямку осі .

Похідна від кутової швидкості називається кутовим прискоренням

. (15)

Визначимо швидкість довільної точки тіла.

З рис.11 бачимо, що нескінченно малий сегмент траєкторії може бути виражений через радіус та нескінченно малий кут : . Поділимо цей на

.

Але та , тому має місце формула

. (16)

Бачимо, , тому .

З іншого боку швидкість завжди напрямлена по дотичній до траєкторії. З рис.10 бачимо, що вектор є перпендикулярним до вектора та кутовій швидкості . Величина цього вектора дорівнює , а напрям вектора співпадає з напрямом вектрного добутка . Ми можемо записати

.. (17)

Ця відома формула була отримана Ейлером і називається формулою Ейлера.

Задача.

Диск радіуса обертається навколо нерухомої осі за законом (рис.12). Знайти швидкість точок and диска.

Розв’язання.

Кутова швидкість дорівнює , а вектор напрямлений вздовж осі обертання (яка перпендикулярна до площини листа) на нас (може бути зображений у вигляді кривої стрілки). Вектор швидкості точки A є перпендикулярним до радіусу-вектору і напрямлений в напрямку обертання. Величина цього вектора дорівнює .

Аналогічно можемо знайти швидкість точки . Швидкість точки перпендикулярна до радіусу-вектору і напрямлена в напрямку обертання. Величина вектора дорівнює .

Покажемо використання формули для визначення напрямку вектора . Для знаходження вектора будемо повертати вектор (перший в формулі (16)) до вектора (другий в цій формулі) проти ходу годинникової стрілки. Використовуючи правило гвинта (напрям переміщення гвинта співпадає з напрямом третього вектора), знайдемо вектор .