DDR 3 p.132-189

2

2

x

3

2

2

11

2

а) V

[(1 x

2

) 2x

4

]dx

x

5

2

;

x

3

5

0

30

0

2

y

y2

2

y3 1

16 7 2

2

1

(1 y2 )dy

b)

V

dy

y

.

2

2

2

2 2

0

3

24

0

2

2

2

14. The asteroid

x a cos3 t ,

y a sin 3 t (Fig. 2.28) is revolved around

Fig. 2.28

0

2

V 2 (a sin 3 t)2 ( 3a) cos2

t sin tdt 6 a3 sin 7 t cos2 tdt

0

2

6 a3 2 sin 7

t(1 sin 2 t)dt 6 a3 ( 2 sin 7

tdt 2 sin 9 tdt)

0

0

0

We used the reduction formula: 2 sin n

xdx

n 1

2 sin n 2

xdx .

n

0

0

5.

y

16 ,

y 17 x 2 .

6.

xy 20 ,

x 2

y 2 41 (Quadrant І).

x 2

7.

y

1

, 2y x 2 .

8.

y 0 , y arcsin x , y arccos x .

1 x 2

9.

10. 4 cos 2 , 2 ( 2 ).

2 sin 2 .

11.

2 cos .

12.

sin 2

(righter of ray

).

2

4

2

13.

,

,

.

cos(

/ 6)

6

3

14.

(x 2 y 2 )3 4xy(x 2 y 2 )

.

15. x 4 y 4 x 2

y 2 .

16.

x a cos3 t , y b sin 3

t .

17.

x 2

y 2 1, x 1 (

x 1).

4

18.

x 2(t sin t) , y 2(1 cos t) ,

y 1 ( y 1 ).

Find the arc length.

19.

y ln x

from

x

3 to

x

8 .

20. y ln(1 x 2 )

from

x 0

to x 1 .

2

21.

y ln sin x from

x

to

x

.

3

2

22.

y

x 2

from

x 0 to

x 1 .

2

25.

x

t 3

t ,

y t 2 2 ,

0 t 3 .

3

26.

y

x x 2

arcsin

x .

27. x a cos5

t , y a sin 5 t .

28.

sin 3

,

0

.

29. 1 cos .

2

3

30.

2 ,

0 .

31.

1

,

3

4

.

4

3

32. Find the volume of the solid bounded by the paraboloid

z

x 2

y 2

4

2

x 2

y 2

z 2

1 and the planes

z 1 and

z 2 .

4

9

34.

y

64

,

8y x 2 .

35.

y 2

x

, y x 2 .

x 2

16

2

Answers

41 arcsin

9

1 .

1. 4ln 4 3/ 2 .

2.

22

.

3. 18. 4.

π. 5. 18.

6.

20ln 0,8 . 7.

3

2

2

41

3

8.

2 1 .

9. .

10.

4(

3) .

11.

9 / 2

. 12. (3 8) / 32 .

13.

8

3

.

14.

1.

3

3

15. 2 .

16. 3

ab

. 17.

2

3

.

18.

16

5 3 .

19.

1

1

ln

3

.

20.

ln 3

1

.

8

3

2

3

2

2

2

21.

1

ln 3 .

22.

1

[

2 ln(1

2 )] .

23.

72.

24. 5 .

25.

12.

26.

2.

2

2

27. 5a[1

1

ln(2

3)] .

28.

1 (2 3

3) . 29. 8.

30.

1

(( 2

4)3/ 2 8) .

3

2

3

8

31.

5

ln

3

. 32.

2 . 33.

36 .

34. 16 (3 10) /5.

35.

3

.

12

2

10

Individual test problems

T8.

8.1.3. x y 2

2 y , x y 2 2y 6 .

8.1.4. y x

4 x ,

y 0 .

8.1.5. y = x2 -6x +6,

y =-x2 +2x .

8.1.6. x y 2

2 ,

y x .

8.1.7. y x2

4x 2 ,

y 2 x .

8.1.8. x y 2

2 y 2 , y x .

8.1.9. x y 2

2y 2 , y 2 x .

8.1.10. y x arctg x , 0 x 1 .

8.1.11. y

1

, y 0 , x 0 , x 4 .

8.1.12. y = x2 +5x, y =7 -x .

1

x

8.1.27. y 2x 2 12x 16 , y x 2 5x 4 .

8.1.28. y = x2 +8x +7,

y =-x2 -2x -5 .

8.1.29. y = x 9-x2 ,

y 0 , 0 x 3 .

8.1.30. x 2y 2 8y 6 , x y 2 3y .

8.2. Find the area of the region bounded by the indicated curve.

8.2.1. 1 cos ,

1 ( 1 ).

8.2.2. 2 cos .

8.2.3. 1 cos ,

3/ 2 ( 3 / 2 ).

8.2.4. 2 sin .

8.2.5. 1 sin ,

1/ 2 ( 1/ 2 ).

8.2.6. 3 cos .

8.2.7. 1 sin ,

1 ( 1 ).

8.2.8. 2 cos 2 .

8.2.9. 1 cos ,

1 ( 1 ).

8.2.10. 3 sin 2 .

8.2.11. 1 sin ,

3/ 2 ( 3 / 2 ).

8.2.12. 1 2 cos .

8.2.13. 2 cos 2 ,

1 ( 1).

8.2.14. 1 2sin .

8.2.15. = 4 sin 2 ,

2 ( 2).

8.2.16. = cos + sin .

8.2.17. = 6 cos 3 ,

3 3 ( 3 3 ).

8.2.18. =cos - sin .

8.2.19. = 2 sin 3 , 3 ( 3 ).

8.2.20. cos2 .

8.2.21. = cos 2 + sin 2 .

8.2.22. sin2 .

8.2.23. 3 cos , sin .

8.2.24. = 3 + cos 2 .

8.2.25. tg , / 3 .

8.2.26. cos2 2 .

8.2.27. 1 tg , / 4 .

8.2.28. cos .

2

8.2.29. 4sin 2 , 2 3 ( 2 3 ).

8.2.30. 2 cos 2 .

8.3.3. x 2 cos t, y 6 sin t, y 3 ( y

3 ).

8.3.4. x 2(t sin t), y 2(1 cos t),

y 3

( y 3 , 0 x 4 ) .

8.3.5. x 16 cos3 t, y sin3 t,

x 2 ,

x 6

3 ( 2 x 6 3 ).

8.3.6. x 6 cos t, y 2 sin t, y 1 ,

y

3 (1 y

3 ).

8.3.7. x 3(t sin t), y 3(1 cos t),

y 3 ( y 3 , 0 x 6 ) .

8.3.8. x 8

2 cos3 t, y

2 sin3 t,

x 4 ( x 4 ).

8.3.9. x 2

2 cos t, y 3

2 sin t,

y 3 ( y 3 ).

8.3.10. x 6(t sin t), y 6(1 cost),

y 3 ,

y 9 ( 3 y 9 , 0 x 2 ).

8.3.11. x 32 cos3 t, y sin3

t, x 4 ( x 4 ).

8.3.12. x 3 cos t, y 8 sin t,

y 4 ( y 4 ).

8.3.13. x 6(t sin t), y 6(1 cost),

y 0 ,

y 6 ( 0

y 6, 0 x 2 ).

8.3.14. x 8 cos3 t, y 4 sin3

t, x 3

3 ( x 3 3 ).

8.3.15. x 6 cos t, y 4 sin t,

y 2

3 ( y 2 3 ).

8.3.16. x 10(t sin t), y 10(1 cos t),

y 15 (15 y , 0 x 6 ) .

8.3.17. x 2

2 cos3 t, y

2 sin3 t,

x 1 ( x 1).

8.3.18. x

2 cos t, y 4

2 sin t,

y 4 ( y 4 ).

8.3.19. y t sin t, x 1 cos t, x 1 (1 x , 0 y 2 ) .

8.3.20. x 9 cos t, y 4 sin t,

y 2 ( y 2 ).

8.3.21. x 8(t sin t), y 8(1 cos t),

y 12 (12 y , 0 x 6 ) .

8.3.22. x 24 sin3

t, y 2 cos3 t, x 9

3 ( x 9 3 ).

8.3.23. x 2(t sin t), y 2(1 cost),

y 2 , y 3 ( 2 y 3 , 0 x 4 ).

8.3.24. x 4

2 cos3

t, y

2 sin3 t,

x 2 ( x 2 ).

8.3.25. x 2

2 cos t, y 5

2 sin t,

y 5 ( y 5 ).

8.3.26. x 4(t sin t), y 4(1 cos t),

y 6 ( 6 y , 0 x 4 ) .

8.3.27. x 8 cos3

t, y 2 sin3

t, x 1 ( x 1).

8.3.28. x 2 cos t, y 3sin t,

x 1 , x 1 ( 1 x 1).

8.3.29. x 8(t sin t), y 8(1 cost), y 4 , y 12 ( 4 y 12 ,

0 x 2 ).

8.3.30. x 4 cos3

t, y 8 sin3

t, y 1 ,

y 3 3 (1 y 3

3 ).

8.4. Find the arc length.

2

8.4.1. y 1 x2

arcsin x ,

x [0;1] .

8.4.2. y ln

, x [

3;

8] .

x

8.4.3. y (x2 2 ln x) / 4 ,

x [1; 2] .

8.4.4. y ln x , x [

3;

15] .

8.4.5. y 1 x2

arccos x , x [0; 8 / 9] . 8.4.6. y 2 ch x ,

x [0;1] .

8.4.7. y e x

1 ,

x [ln 8; ln 15] .

8.4.8. y

e2x e 2x

, x

[0; 2] .

2

8.4.9. y ln sin x ,

x [ / 3; / 2] .

8.4.10. y 3 ch x , x [0;1] .

8.4.11. y 1 ln cos x , x [0; / 3] .

8.4.12. y arcsin e x , x [0;1] .

8.4.13. y

ln sin 2x

, x [ / 6; / 3] .

8.4.14. y ln

7

, x [

15;

24] .

x

2

8.4.15. y ln(1 x

2

) , x [0;1/ 4] .

8.4.16. y

x3

1

, x [1; 3] .

6

2x

8.4.17. y

x

x

3

, x [0; 4] .

8.4.18. y ln(x

2

1) , x [3; 4] .

3

8.4.19. y ln cos x, x [0;

/ 6] .

8.4.20. y

x

4

1

, x [1; 2] .

32

x2

8.4.23. y 1 arcsin x

1 x2 ,

x [0; 3 / 4] .

8.4.26.

y 1 arccos x

1 x2

,

x [0; 9 /16] .

8.4.27.

y

1 x2

, x [0; 8 / 9] .

8.4.28. y

x2

ln x

x2

ln ln x

,

x [e; e2 ] .

2

4

4

8.4.29.

y 4 arccos x

x x2

, x [0;1/ 2] .

8.4.30. y 3 e x ,

x [ln

15; ln

24] .

8.5. Find the arc length.

8.5.1. x et (cos t sin t), y et (cos t sin t),

0 t 2 .

8.5.2. x 2(cos t t sin t), y 2(sin t t cos t),

0 t / 2 .

8.5.3. x 4(2 cos t cos 2t), y 4(2 sin t sin 2t),

0 t .

8.5.4. x (t2

2) sin t 2t cos t, y (2 t2 ) cos t 2t sin t, 0 t .

8.5.5. x

1 t2

, y

1 t

1 t2

1 ln(t

1 t2

), 0 t 1 .

2

2

8.5.6. x

2

t3

ln t

4

t3 , y t ln t t,

1 t 3 .

3

9

8.5.7.

x 2 cos t cos 2t, y 2 sin t sin 2t, 0 t 2 .

8.5.8.

x ln(1 sin t) ln cos t, y ln(1 cos t) ln sin t,

/ 6 t / 3 .

8.5.9. x tet (sin t cost) et cost, y tet (cost sin t) et sin t,

0 t 2 .

8.5.10. x (1 2t2 )cos 2t 2t sin 2t, y (2t2 1)sin 2t 2t cos 2t,

0 t 2 .

8.5.13. x 2 arctg t, y ln(1 t2 ),

0 t 1 .

8.5.22.

x (t2 2) sin t 2t cos t, y (2 t2 ) cos t 2t sin t, 0 t .

8.5.23.

x 2(cos t t sin t), y 2(sin t t cos t),

0 t .

8.5.24.

x t cos t, y t sin t,

0 t .

8.5.25.

x (t2 2)sin t 2t cost, y (2 t2 )cost 2t sin t, / 2 t 2 .

8.5.26.

x ln(1 sin 2t) ln cos 2t, y ln tg t,

/ 8 t / 6 .