Vischa_matematika_Chastina_3_Denisyuk_Repeta

Аналогічно визначаємо площі параболічних трапецій, що відповідають

Формулу (5.10) називають формулою Сімпсона.

2.5. Абсолютні похибки для квадратурних формул

Різницю між лівою і правою частинами квадратурної формули називають її залишковим членом і позначають Rn ( f ) . Величина | Rn ( f ) | визна-

чає абсолютну похибку квадратурної формули, яка залежить від числа n — кількості відрізків, на які розбивають відрізок інтегрування [a; b] (зі збіль-

шенням n абсолютна похибка зменшується).

Оцінювання абсолютних похибок формул прямокутників, трапецій та парабол проводять за формулами, що вміщені у табл. 5.3. Використовуючи ці формули, можна визначити число n так, щоб обчислити заданий інтеграл із наперед заданою точністю.

Таблиця 5.3

401

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Закінчення табл. 5.3

Т.2 ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТИПОВИХ ЗАДАЧ

1

1. Обчисліть інтеграл I = ∫ 1+ x2 dx , використовуючи формули прямо-

0

кутників, трапецій та Сімпсона. Оцініть похибку кожної формули.

Обчислимо наближено заданий інтеграл за формулами (5.6) — (5.10). Маємо:

1) за формулою (5.6)

I≈ 101 ( y0 + y1 + …+ y9 ) = 1,1276722;

2)за формулою (5.7)

I ≈ 101 ( y1 + y2 + …+ y10 ) = 1,1690936;

402

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Звідси

Розв’язання. Оцінимо спочатку, на скільки рівних частин достатньо

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Отже,

Т.2 ВПРАВИ ДЛЯ АУДИТОРНОЇ І САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

2 dx

1. Обчисліть інтеграл ∫1 x2 :

а) з точністю до 0,01, використовуючи формулу трапецій; б) з точністю до 0,0001, використовуючи формулу Сімпсона. Результат порівняйте з точною відповіддю.

2. Обчисліть інтеграл

1

∫ e− x2 dx

0

зточністю до 0,0001 за формулою Сімпсона.

3.Знайдіть інтеграл

за формулою Сімпсона, взявши n = 5. Обчислення проведіть з п’ятьма знаками після коми.

Відповіді

1. а) 1,01; б) 0,5000. 2. 0,7468 ± 0,00005. 3. 0,915965.

Т.2 ІНДИВІДУАЛЬНІ ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ

b

Обчисліть інтеграл ∫ f (x)dx , використовуючи формули трапецій та

a

Сімпсона за умови, що відрізок інтегрування [a; b] розбито на 10 рів-

них частин. Оцініть абсолютну похибку. Перевірте результат безпосереднім інтегруванням. Підінтегральна функція та межі інтегрування вміщені у табл. 5.6.

405

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Таблиця 5.6

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Тема 3. ІНТЕРПОЛЮВАННЯ ФУНКЦІЙ.

ІНТЕРПОЛЯЦІЙНИЙ МНОГОЧЛЕН ЛАГРАНЖА

Постановка задачі інтерполяції. Інтерполяційний многочлен Лагранжа. Похибка інтерполяційної формули. Інтерполяційна формула Лагранжа для рівновіддалених вузлів.

Література: [2, стр.30–34], [6], [11], [14, розділ 8, §3], [18, розділ 2, с.84–92].

Т.3 ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

3.1. Постановка задачі

Нехай на відрізку [a; b] обрано деяку фіксовану сукупність попарно різних точок x0 , x1 , ..., xn ( a ≤ x0 < x1 < < xn ≤ b ) і в цих точках відомі значення деякої функції f(x): yi = f (xi ), i = 0, 1,..., n (див. табл. 5.7). По-

трібно знайти таку функцію ϕ(x), яка збігається з f(x) у вказаних точках,

тобто ϕ(x0 ) = f (x0 ), ϕ(x1 ) = f (x1), … , ϕ(xn ) = f (xn ) , при цьому в усіх інших точках x [a; b] виконується наближена рівність: ϕ(x) ≈ f(x).

Процес пошуку функції ϕ(x) називають інтерполюванням; функцію ϕ(x) ―

Розглянемо спочатку наближення функції f(x) за допомогою многочлена степеня n:

Цей многочлен має n + 1 коефіцієнтів, які можна однозначно визначити з системи n + 1рівнянь:

ϕ(x0 ) = y0 ,

ϕ(x1 ) = y1 ,

.................

ϕ(xn ) = yn ,

407

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

або

Справді, система лінійних алгебраїчних рівнянь (5.11) відносно невідомих а0, а1, … , аn має єдиний розв’язок, оскільки визначник основної матриці системи

відомий в алгебрі як визначник Вандермонда, відмінний від нуля. Звідси випливає, що інтерполяційний многочлен n-го степеня Рn(x) існує і єдиний (може трапитися, що деякі коефіцієнти в Рn(x) дорівнюють нулю, в тому числі й а0; отже, інтерполяційний многочлен у загальному випадку має степінь не більший, ніж n).

Проте запропонований спосіб не є раціональним, тому на практиці використовують інші, зручніші й менш громіздкі методи.

Розглянемо наближення функції f(x) за допомогою функцій ϕ(x), представлених многочленами різного степеня.

Нехай обрано деяку сукупність функцій

або

n

ϕ(x) = ∑ ai ϕi(x),

i=0

де а0, а1, … , аn — невизначені параметри, які повинні підбиратися так, щоб функція ϕ(x) була рівна заданій функції f (x) у вузлах інтерполяції, тобто

задовольняла умови

ϕ(x0 ) = f (x0 ), ϕ(x1 ) = f (x1), … , ϕ(xn ) = f (xn ) . (5.13)

408

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Функції вигляду (5.12) називають узагальненими многочленами або узагальненими поліномами.

Підставляючи вираз (5.12) в умови (5.13) для функції ϕ(x), дістанемо систему n + 1 лінійних алгебраїчних рівнянь з невідомими а0, а1, …, аn:

то система (5.14) має єдиний розв’язок а0, а1, …, аn, який виражається через вузлові значення у0, у1, …, уn.

Залишилося з’ясувати умови вибору функцій ϕ0(x), ϕ1(x), …, ϕn(x). Ці

функції повинні бути досить простими і зручними для обчислень. Крім того, вважатимемо, що будь-яка скінченна або зліченна система функцій

{ϕi(x)} лінійно незалежна на [a; b], тобто лінійна комбінація а0ϕ0(x) + + а1ϕ1(x) + а2ϕ2(x) + ... + аnϕn(x) тотожно рівна нулю тільки тоді, коли всі

коефіцієнти а0, а1, … , аn рівні нулю. Наприклад, системи функцій

{ϕi(x)} ={xi}, i = 0, 1, 2,…; {ϕi(x)} = {1, sinx, cosx, sin2x, cos2x,…} ― ліній-

но незалежні на будь-якому проміжку [a; b].

3.2. Інтерполяційний многочлен Лагранжа

Нехай функція f задана таблицею 5.7. Побудуємо інтерполяційний многочлен ϕ(x) = Ln (x) , степінь якого не більший за n і для якого виконуються умови

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Побудуємо функцію Фi (x) загального вигляду, яка в заданих точках

x0, x1, … , xі–1, xі+1, … , xn дорівнює нулю, а в точці xі ― одиниці. Першу умову Фi (x j ) = 0 , j ≠i задовольняє функція

Фi (x) = ci (x − x0 )(x − x1 )…(x − xi−1 )(x − xi+1 )…(x − xn ) ,

де ci ― довільна стала.

Враховуючи другу умову Фi (xi ) =1 , дістанемо

Фi (xi ) = ci (xi − x0 )(xi − x1 )…(xi − xi−1 )(xi − xi+1 )…(xi − xn ) = 1 .

Звідси

ються за формулою (5.17), інтерполює задану функцію f(x) у вузлах x0, x1, … , xn . Справді, при х = x0 Ф0 (x0 ) = 1, а функції Ф1 (x), Ф2 (x), , Фn (x) обертаються в нуль, отже, Ln (x0 ) = f (x0 ). При х= x1 уже Ф1 (x1 ) = 1 , а функ-

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/