Vischa_matematika_Chastina_3_Denisyuk_Repeta

Рівняння прямої АВ:

Це і є розрахункова формула методу хорд.

Формула (5.3) застосовна також і для випадку, коли на відрізку ізоляції

образи цих випадків розгляньте самостійно), то корінь можна уточнити за формулою

391

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

1.4. Метод Ньютона, або метод дотичних

Проведемо дотичну до графіка функції y = f (x) в тій із точок А чи В , в якій виконується умова f (x) f ′′(x) > 0 , тобто знак функції збігається із знаком її другої похідної. На рис. 5.7 f (b) > 0 і f ′′(b) < 0 (функція вгнута),

тому дотичну проводимо через точку В (дотична проведена у точці А може перетнути вісь абсцис поза відрізком ізоляції[a; b] ). Знайдемо точку x1

перетину дотичної з віссю абсцис.

Рівняння дотичної до кривої у точці В має вигляд y − f (b) = f ′(b)(x − b) .

Поклавши y = 0 , x = x1 , дістанемо

Тепер обчислимо значення f (x1 ) і проведемо дотичну до кривої через точку B1 (x1 , f (x1 )) , після цього знайдемо точку x2 перетину цієї дотичної з віссю абсцис:

Даний метод володіє значною швидкістю збіжності. Зазвичай трьох — п’яти ітерацій достатньо для одержання високої точності.

392

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Критерій зупинки ітераційного процесу: xn+1 − xn ≤ ε,

де ε — задана точність. Проте виконання такої нерівності ще не гарантує того, що корінь визначено із заданою точністю ε .

1.5. Комбінований метод

Метод хорд і метод Ньютона часто застосовують до проміжку ізоляції кореня разом. Нехай на відрізку [a; b] виконуються умови:

1)f (a) < 0 , f (b) > 0 ;

2)функція вгнута (рис. 5.5 або 5.7).

Оскільки здобуте методом хорд наближене значення кореня відхиляється від точного значення кореня у напрямку угнутості, а за методом Ньютона ― у протилежному напрямку, то шуканий корінь х* розміщений

між xn та xn (тут xn ― наближення кореня за методом хорд, а xn ― за методом Ньютона). Тому, якщо | xn − xn | < ε , то процес уточнення кореня

припиняють і беруть x* = xn + xn . 2

Т.1 ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТИПОВИХ ЗАДАЧ

1. Знайдіть дійсний корінь рівняння ln x + x − 3 = 0 з точністю до 0,005, використовуючи метод спроб.

Розв'язання. Запишемо рівняння у вигляді

жку (1; 3) (рис. 5.8). Позначимо f (x) = ln x + x − 3 і обчислимо, наприклад, значення функції f (x) у точках x = 2 та x = 2, 5 . Дістанемо

f(2) = – 0,3068528 < 0, f(2,5) = 0,4162907 > 0.

Отже, корінь заданого рівняння належить проміжку ізоляції [2; 2, 5] .

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

= f (2, 25) = 0, 0609 > 0 . Отже, шуканий корінь належить проміжку [2; 2,25].

Далі розглядаємо проміжок [2,125; 2, 25] , на кінцях якого функція на-

буває протилежних знаків. Продовжимо процес доти, доки відстань між сусідніми наближеними коренями не стане меншою, ніж 0,005 (див. рис. 5.9

ітабл 5.1).

2.Знайдіть дійсний корінь рівняння ln x + x − 3 = 0 , комбінуючи методи хорд і дотичних.

Знайдемо похідні функції f (x) = ln x + x − 3 :

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Оскільки f (2) і f ′′(2) одночасно від’ємні, то за початкове наближення можемо взяти точку x0 = 2 . У цій точці f(2) = – 0,3068528, f ′(2) = 1, 5. За формулою (5.4) обчислимо

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Зауваження. Насправді корінь x2 , одержаний методом дотичних, міс-

ІСАМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

1.Знайдіть додатний корінь рівняння x4 −16x − 64 = 0 з точністю до 0,01, використовуючи:

1)метод хорд; 2) метод Ньютона.

2.Визначте більший корінь рівняння x2 – 2x – 4 = 0 з точністю до 0,001, використовуючи:

1)метод половинного поділу;

2)метод хорд;

3)метод дотичних.

3.Визначте корінь рівняння x + ln x = 0 з точністю до 0,01, використовуючи метод половинного поділу.

Відповіді

1. 3.29. 2. 3,236. 3. – 0,57.

Т.1 ІНДИВІДУАЛЬНІ ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ

1.Визначтекоренірівнянь(табл. 5.2) зточністюдо0,01, використовуючи:

1)метод половинного поділу;

2)метод хорд;

3)метод дотичних.

396

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Тема 2. НАБЛИЖЕНЕ ОБЧИСЛЕННЯ

ВИЗНАЧЕНИХ ІНТЕГРАЛІВ

Постановка задачі чисельного інтегрування. Формули прямокутників. Формула трапецій. Формула парабол (Сімпсона). Абсолютні похибки квадратурних формул.

Література: [6], [10, розділ 5, с. 98—111], [11], [14, розділ 8, §6], [18, розділ 5, с. 232—262].

Т.2 ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

2.1. Постановка задачі

Припустимо треба обчислити визначений інтеграл

b

∫ f (x)dx ,

a

де f (x) — неперервна на [a; b] функція.

Якщо можна знайти первісну F(x) від підінтегральної функції f(x), то

b

∫ f (x)dx = F(b) − F(a) . Проте часто на практиці зустрічаються випадки,

a

коли підінтегральну функцію f(x) не можна проінтегрувати аналітичним шляхом або коли аналітичне інтегрування вимагає великого обсягу роботи. У подібних випадках можна користуватися чисельними методами. Ці методи дають можливість обчислити визначений інтеграл за числовими зна-

ченнями підінтегральної функції в окремих точках відрізка [a; b] . Форму-

ли, за допомогою яких проводять чисельне інтегрування, дістали назву квадратурних формул. З них найпоширенішими і найзручнішими є формули прямокутників, трапецій та формула парабол (або Сімпсона).

Виведення цих формул ґрунтується на понятті визначеного інтеграла як границі інтегральної суми та геометричному змісті визначеного інтеграла:

b

якщо f (x) ≥ 0 , то ∫ f (x)dx чисельно дорівнює площі криволінійної тра-

a

пеції, обмеженої кривою y = f (x) та прямими y = 0, x = a та x = b.

При наближеному обчисленні визначеного інтеграла криву y = f (x)

замінюють новою лінією, яка зазвичай складається з відрізків або дуг парабол, після цього площа криволінійної трапеції наближено дорівнює площі фігури, обмеженої зверху новою лінією. Розглянемо ці методи детальніше.

397

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

2.2. Формула прямокутників

b

Нехай треба обчислити визначений інтеграл ∫ f (x)dx від неперервної

a

на відрізку [a; b] функції f (x) . Розіб’ємо відрізок [a; b] на n рівних частин точками

xk = a + b −n a k, ( k = 0, 1, ..., n ),

після чого обчислимо значення функції у цих точках:

f (x0 ) = y0 , f (x1 ) = y1 , …, f (xn ) = yn .

Складемо суму

y0 (x1 − x0 ) + y1 (x2 − x1 ) + …+ yn−1 (xn − xn−1 ) = = b −n a ( y0 + y1 + …+ yn−1 ) ,

Ця сума чисельно дорівнює площі ступінчастої фігури, зображеної на рис. 5.11, і наближено дорівнює площі криволінійної трапеції. Отже,

Аналогічно, використовуючи рис. 5.12, запишемо ще одну наближену формулу

398

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Нарешті, якщо за висоти прямокутників взяти значення функції у серединах відрізків [xk −1 ; xk ] ( k = 1, 2, ..., n ), то дістанемо формулу

Формули (5.6) — (5.8) називаються формулами прямокутників.

2.3. Формула трапецій

Замінимо криву y = f (x) ламаною лінією, сполучивши послідовно точки ( xk , yk ) ( k = 0, 1, ..., n ). Тоді площа криволінійної трапеції набли-

жено дорівнює сумі площ прямокутних трапецій, обмежених зверху ланками ламаної (рис. 5.13). Площа першої прямокутної трапеції дорівнює

Рис. 5.13

Чим більшим буде число n, тим точніша, за інших рівних умов, фор-

мула (5.9).

Зауваження. Формулу трапецій можна дістати з формул (5.6) та (5.7), якщо взяти півсуму їх лівих і правих частин.

399

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

2.4. Формула парабол (Сімпсона)

Розіб’ємо відрізок [a; b] на парне число 2n рівних частин. Площу криволінійної трапеції, що відповідає відрізку [x0 ; x2 ] , замінимо площею трапеції AM0 M1M2 B , обмеженої зверху параболою y = px2 + qx + r , що про-

ходить через точки M0 (x0 ; y0 ), M1 (x1 ; y1 ), M2 (x2 ; y2 ) (рис. 5.14). Обчислимо площу трапеції AM0 M1M2 B. Для зручності обчислень пе-

ренесемо вісь ординат вздовж осі Ох так, щоб вона проходила через точку

M1 (0; y1 ), M2 (h; y2 ) . Підставивши координати цих точок у рівняння параболи, дістанемо систему рівнянь

y0 = ph2 − qh + r,y1 = r,

y2 = ph2 + qh + r,

розв’язок якої

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/