Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный авиационный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Vischa_matematika_Chastina_3_Denisyuk_Repeta

.pdf

Скачиваний:

519

Добавлен:

19.02.2016

Размер:

7.52 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3233 / 4533 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 > Следующая >>>

Re s

z=−i (z − 1)(z2

+ 1)

((z − 1)(z2 + 1))

′

z=−i

+ 1 + 2z(z − 1)

z=−i

−i

i − 1

−1

+ 1

+ 2(−i)(−i − 1)

Отже,

∫

dz = 2πi

i−1

= −

+ i).

− 1)(z

L+

19. Обчисліть

∫

z sin2

dz, де L ― коло

= 1.

L+

міститься всередині даного кола.

Розв’язання. Особлива точка z = 0

Інтеграл обчислюємо за формулою (3.31). Використовуючи формулу зни-

ження степеня sin2 α =

1− cos 2α

і розвинення в ряд для косинуса (див.

табл. 3.1), дістанемо розклад функції

f (z) = z sin

у ряд Лорана в околі

точки z = 0:

1− cos

(−1)n

f (z) =

− 1−

− …+

+ …

2! z

(2n)!

−

+ …+ (−1)n+`1

22n−1

+ …=

z2!

z2n−1 (2n)!

z3 4!

−

+ …+

(−1)n+`1

22n−1

+ …

3z3

z2n−1 (2n)!

Звідси випливає, що

Re s f (z) = 1

∫

z sin2

dz = 2πi.

z=0

L+

Зауваження. Можна не підносити ряд до квадрата, а використати

формулу зниження степеня sin2 α = 1− cos 2α і скористатись відо- 2

мим розкладанням косинуса.

321

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

20. Обчисліть інтеграл ∫	dz			, де L ― коло	z	= 3 .

	z(z	2	+ 1)
L+

Розв’язання. В області, обмеженій колом z = 3 , лежать три прості по-

люси функції: z1 = 0, z2 = i, z3 = –i. Знайдемо лишки функції стосовно кожного з них. Маємо:

Re s

= 1,

z=0

z(z2 + 1)

(z(z2 + 1))′

z=0

(3z2 + 1)

z=0

Res

= −

z=i

z(z2 + 1)

(z(z2 + 1))′

z=i

3i2 + 1

Res

= −

z=-i

z(z2 + 1)

(z(z2 + 1))′

z=−i

Отже, згідно з основною теоремою про лишки (3.31) маємо

∫

= 0.

= 2πi 1 −

−

+ 1)

+ z(z

∫+

21. Обчисліть інтеграл

, де L ― коло

= 2 .

z10

+ 1

Розв’язання. Підінтегральна функція має в крузі

= 2 десять особли-

2k +1

π i

вих точок zk = e 10

, k

= 0,1,..., 9,

які є простими полюсами, що лежать

на колі одиничного радіуса. Замість обчислення десяти лишків набагато зручніше використати теорему 10, за якою достатньо обчислити лишок лише в точці z = ∞ . Розклад функції в ряд Лорана в околі нескінченно віддаленої точки має вигляд:

1 −

− ...

−

− ... ,

+ 1

отже,

Re s

= − a−1 = 0. Тоді за формулою (3.29)

z=∞

+ 1

Re s

= −

∑ Res

= 0 ,

z=∞ z10 + 1

k =0 z= zk z10 +1

322

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

а шуканий інтеграл

= 2π i 0 = 0 .

∫+ z10 +

2π

22. Обчисліть інтеграл I

= ∫

cos t − 2

Розв’язання. Покладаючи z = eit , дістанемо за формулою (3.32)

2π

∫

cos t

− 2

−

4z + 1

z +

− 2

Функція R(z) =

має два прості полюси

z1,2

= 2 ± 3 , з яких

2 − 4z + 1

тільки z2 = 2 −

= 1. Отже,

3 міститься всередині контура

2π

∫

= 2πi

Res

= 4π

2− 3 =

0 cos t − 2

z=2− 3

− 4z + 1

2z − 4

= 4π

= −

2π

2(2 −

3) − 4

∞

23. Обчисліть інтеграл I

= ∫

+ x

−∞

Розв’язання. Функція R(x)

задовольняє

всі

умови

наслідку

1+ x4

з теореми 12. Функція R(z) =

має у верхній півплощині прості полюси

1+ z4

3π

∞

= 2πi Re s

в точках z1 = ei

і z2

= ei

. Тому

∫

+ Re s

+ x

−∞ 1

z= z1 1+ z

z= z2 1+ z

Лишки обчислюємо за формулою (3.26)

−i

Re s

z= z1 1 + z

z= z

i 4

323

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

−

Re s

4 .

9π

z= z2 1 + z

z= z2

Отже,

∞

2πi

πi

3π

∫

−i 4

−i

+ e

cos

− i sin

+ cos

− i sin

1+ x

−∞

πi

(−i 2) = π

∞

(x + 1) sin 2x

24. Обчисліть інтеграл I = ∫

dx.

x2 + 2x

+ 2

−∞

∞ (x + 1) sin 2x

∞

(x + 1)e2 xi

Розв’язання. I = ∫

= Im ∫

dx , тут λ = 2 > 0.

x2 + 2x

+ 2

x2 + 2x

+ 2

−∞

Функція

f (x) =

x + 1

задовольняє всі умови теореми 13. У верх-

x2 + 2x + 2

ній півплощині Im z > 0 функція

f (z) =

z + 1

має лише простий по-

z2 + 2z + 2

люс z = –1 + i. Тоді за теоремою 13:

I = Im

2πi Re s

z + 1

e2iz

= Im

2πi

e−2−2i

z=−1+i

+ 2z

+ 2

= Im (πie−2 (cos2−isin 2)) = πe−2 cos 2.

∞

cos

λx

∞

xsin λx

25. Обчисліть інтеграли: а) ∫

dx,

б) ∫

dx.

2 2

+ a

Розв’язання: а) на підставі формули (3.33), де R(x) ― парна функція, маємо:

∞ cos λx	dx = πi Re s	eiλz		=	πe−λa	(λ > 0, a > 0);

∫0 a2 + x2	z=ia	z2	+ a2		2a

б) аналогічно, на підставі формули (3.34), де R(x) ― непарна функція, маємо

∞ x sin λx	dx = π Re s	zeiλz		=	πe−λa	(λ > 0, a > 0).

∫0 x2 + a2		z2	+ a2		2
	z=ia

324

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Т.3 ВПРАВИ ДЛЯ АУДИТОРНОЇ

ІСАМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

1.Розкладіть у ряд Тейлора в околі точки z = 0 функції:

1)	f (z) =		1	;		2)	f (z) =	2z − 5	;

		(z + 1)(z − 2)						z2 − 5z + 6
3)	f (z) =		z		;	4)	f (z) =	z3		.
			(z2 + 1)(z2 − 4)
								(z2 + 1)(z − 1)

Вказівка. Попередньо подайте задану функцію у вигляді суми найпростіших дробів.

Розкладіть у ряд Лорана в околі точки z0 функції:

ze2z

= 1 .

3. cos

, z0

= 0 .

z0 = 0.

z − 1

z −

(z + 1)2

sin z

ez − 1

= 0.

6. z3e

, z0 = 0.

z0 = 0 .

∞

8. Використовуючирозклади

∑ zn ,

= ∑ (−1)n zn ,

де

< 1,

1 − z

1 + z

n=0

та властивість про почленне диференціювання степеневого ряду, знайдіть у вказаних областях розклади в ряд за степенями z таких функцій:

1) f (z) =

(

< 1);

2) f (z) =

(

< 1).

(1− z)2

(1+ z)3

Розкладіть у ряд Лорана за степенями z функції у вказаних кільцях:

а) 2 <

< 3;

б) 3 <

< +∞ .

(z − 2)(z − 3)

10.

а) 0 <

< 1;

б) 1 <

< +∞.

z2 + z

11.

z − 1

0 <

z + 4

< 6 .

+ 2z − 8

z + 1

12.

z − 3

13.

z − 3

> 4 .

> 8 .

− 2z − 3

z2 + 2z − 15

325

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Знайдіть нулі функцій f(z) та визначте їх порядок.

14. f (z) = (z2 + 9)(z2 + 4)3.				15. f (z) = (1 – ez)(z2 – 4)3.		16. f (z) = z sin z.
Визначте порядок полюсів z0 для функцій.
17. f (z) =		2z	.	18. f (z) =	z2 − 3z + 2		, z0 = 2, z0 = 1 .
	z2	− 2z − 15			(z2 − 4)2 (z − 1)	3

Доведіть, що точка z0 є істотно особливою точкою для функцій.

				1		cos	1
		1
							z + 1
19. f (z) =			+ e z−i , z0		= i. 20. f (z) =			, z0 = –1.

	z2	+ 1				z2 − z + 2
	z2	+ 1				z2 − z + 2

21. Вкажіть усі скінченні особливі точки і визначте їх характер для функцій:

;

z + 2

; 3)

;

(z2 + 1)3

z(z + 1)(z − 1)3

sin z

(z + 1)(z − 2)3 (z + i)5

z(π − z)

z −

; 6)

; 7)

;

z2s in(z − 1)

(z + 1)3 (ez − 1)

sin 2z

tg z − 1

tg3 z;

cos2

10) e z−3i ;

11)

cos

;

12)

;

+ 2i

z − 1

13)

tg(z − 1)

;

14)

1 − cos z

;

15)

sin z

;

16)

z − 1

ez −

Визначте характер точки z0 = ∞ для функцій:

22.

+ z + 1

23.

z3 + z +

(z + i)2

(z − 4)3

z(z2 + 7)

Обчисліть лишки функцій в особливих точках z0.

24. 1)

z3 + 1

, z0

= 3, z0

= −2 ; 2)

cos z

= 0 ;

2)2 (z − 3)

z3 (z + 4)

z4 + 2

= ∞ ;

exp

z0 = −2 ;

+ 16

z + 2

sin

= 1 ;

tg z, z0

z − 1

326

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Вважаючи, що обхід замкнених контурів відбувається в додатному напрямку, обчисліть за допомогою лишків такі інтеграли:

25. ∫		dz
			.
	1	z(z2 + 4)	.
\|z\|=	2
	2

∫2dz

27.|z−1−i|= 54 z2 (z − 1) .

	∫		dz
26.					.
			z(z2 + 4)
	\|z−i\|=3/ 2
28.	∫	2 + sin z		dz .

	\|z\|=3	z(z + 2i)

29.

∫

ez dz

30.

∫

z(sin z + 2)

dz .

|z−3|=

1 sin z

|z−

|=2

sin z

31.

∫

z sin

dz, де C — еліпс

= 1 .

(z −

32.

∫

, де C — коло x2 + y2

= 2x .

33. Обчисліть за допомогою лишків визначені інтеграли.

2π

∫

;

∫

− cos x

3 sin x

34. Обчисліть за допомогою лишків невласні інтеграли.

∞

xeix dx

∫

;

∫

;

25)(9x

-∞

−∞ x

14x + 5

∞

x sin 4x

∞

cos x

∫

;

∫

dx .

+ 4x +

17x

+ 16

−∞ x

Відповіді

1. 1) 1

∞

− 4−n−1)z2n+1 ;

∑ ((−1)n+1 − 2−n

−1) zn; 2) − ∑ (2−n−1 + 3−n−1)zn ; 3) 1

∑ ((−1)n+1

n=0

∞

n+1

∞

4) − ∑ (z4n + z4n−1) . 2. e2 (

∑ (

)(z −1)n ) при 0 <

z − 1

< ∞ . 3.

∑

(−1)

−

n=0

z −1

n=0

(n + 1)!

n=0

(2n)!z

∞

(−1)

∞

− ∑ zn+1

при 0 <

< 1 або

∑

при

> 1 . 4. ∑ (−1)n+1n zn

при

< 1

або

n=0

n=0 (2n)!z

n=0 z

n=1

327

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

∞

(−1)n (n + 1)

∑

при

> 1 .

n+1

n=0

∞

n−1

8. ∑ (n + 1)zn. 9. а) − ∑

n=0

n=1

∞

(z + 4)n

11.

− ∑

n+2

12.

6(z + 4)

n=0

1 −

∞

3− n

∞

−

+ ...

при

> 0 . 6.

∑

(n + 1)!

n=0

∞

3n−1

− 2n−1

∞

−

∑

(

)

; б)

∑

. 10. а)

− ∑

(−1)

; б)

∑

n+2

3 n=0

n=1

n=0

∞

−

∑(−1)n

. 13.

∑(−1)n

4(z − 3)

4(z −

(z − 3)

z − 3

(z − 3)

n+1

3) n=0

2 n=1

14. z = ±3i – нулі першого порядку; z = ±2i – нулі третього порядку. 15. zk = 2kπi ( k Z ) – нулі

першого порядку; z = ±2 – нулі третього порядку. 16. z = 0 – нуль другого порядку; zk = kπ (k = 0, +1, +2,...) – нулі першого порядку. 17. z0 = 0 – полюс другого порядку, z0 = kπ, k = ±1, ±2,..., – полюси третього порядку. 18. z0 = 2 – полюс першого порядку, z0 = 1− полюс другого порядку.

21. 1)

z1 = i,

z2 = −i

– полюси третього порядку; 2) z1 = 0,

= −1 – полюси першого порядку,

z3 = 1

– полюс третього порядку; 3)

zk = kπ,

k Z, полюси першого порядку; 4) z0

= −1 –

полюс першого порядку,

z1 = 2 – полюс третього порядку,

= −i – полюс п’ятого поряд-

ку;

z1 = 0

– полюс другого порядку,

zk = 1+ kπ, k Z

– полюси першого порядку;

z1 = −1 – полюс третього порядку,

z2 = 0 – усувна особлива точка, zk = 2kπi,

k Z,

k ≠ 0 –

полюси першого порядку;

7) z0 = 0,

z2 = π

–

усувні особливі точки, zk

= πk 2,

k = ±1,

−2, ±3,

..., – полюси першого порядку; 8)

– усувна особлива точка,

= π(4k + 1) / 4,

k Z – полюси третього по-

k = ±1,

±2, ..., – полюси першого порядку; 9)

= π(2k + 1) / 2,

рядку; 10) z0

= 3i – істотно особлива точка; 11) z0 = −2i – істотно особлива точка; 12)

z = 1 –

істотно особлива точка; 13)

z = 1 – усувна особлива точка,

zk = 1+

π(2k + 1)

k Z – полюси

першого порядку; 14) z0

= 0

– усувна особлива точка; 15)

– полюс четвертого порядку;

16)

= ln 3 + 2kπi,

k Z

– полюси першого порядку. 22. Нуль порядку 3. 23. Усувна особлива

точка.

24. 1)

28 ; −

53 ;

−

; 3) 0; 4) 1; 5) 4; 6) −1 . 25.

πi

. 26.

πi

. 27. 4πi . 28. iπsh2 .

29. −2πieπ . 30. −4π2i.

2) 4π(sin 2 + i cos 2) ; 3)

31.

sin1− 4cos1

πi .

32. −

πi

33. 1)

8π

;

2) 2π . 34. 1)

7π

;

560

((sin 2 − 2cos 2) + i(cos 2 + 2sin 2))

; 4)

π 4e3 − 1

Т.3 ВПРАВИ ДЛЯ АУДИТОРНОЇ

ІСАМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

3.1.Задані функції розкладіть у ряд Тейлора за степенями z − z0 , використовуючи відомі розвинення функцій, і знайдіть радіуси збіжності рядів.

3.1.1.

f (z) =

= 2 .

3.1.2.

f (z) =

= 1 .

−

3.1.3.

f (z) =

, z0 = 0 .

3.1.4.

f (z) =

= 0 .

+ 1

2 − 1

328

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

3.1.5.

f (z) =

= 2 .

− 3z

3.1.7.

f (z) =

= 0 .

2 −

3.1.9.

f (z) = cos2 (iz) ,

= 0 .

3.1.11.

f (z) =

z − 3

= −1.

z + 2

3.1.13.

f (z) =

= 3 .

+ 7

3.1.15.

f (z) =

= 0 .

+ 2

3.1.17.

f (z) = cos2

= 0 .

3.1.19.

f (z) = sin2

= 0 .

3.1.21.

f (z) =

= 3.

z − 2

3.1.23.

f (z) = cos(2z − 3) , z0 = 1.

3.1.25.

f (z) = ez ,

= 1.

3.1.27.

f (z) =

= 1 .

− 3

3.1.29.

f (z) =

z + 1

= 3 .

z + 4

3.1.6.

f (z) =

, z0

= −2 .

+ z

3.1.8.

f (z) =

= 0 .

+ i

3.1.10.

f (z) = sh

= 0 .

3.1.12.

f (z) =

z − 1

= 1 .

2z − 3

3.1.14.

f (z) =

= 4 .

− 3

3.1.16.

f (z) =

= 0 .

− 1

3.1.18.

f (z) = ch2 (iz) ,

= 0 .

3.1.20.

f (z) =

= −2.

− 4z

3.1.22.

f (z) =

= −1.

3.1.24.

f (z) =

= −1.

− 3z

3.1.26.

f (z) =

= −2.

+ 5

3.1.28.

f (z) =

z − 3

= 0 .

z − 4

3.1.30.

f (z) =

z − 1

= 0 .

z − 2

3.2. Знайдіть усі лоранівські розклади заданої функції за степенями z − z0.

3.2.1.

z − 2

, z0

= −1.

3.2.2.

z − 4

z0 = 0 .

+ z − 1

+ z − 2

3.2.3.

z − 6

z0 = −3 .

3.2.4.

z − 8

z0 = 0 .

+ 3z −

+ 2z − 8

329

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

3.2.5.

z − 3

= −2 .

2z2 + 3z − 2

3.2.7.

z − 12

= 3 .

+ 3z − 18

3.2.9.

z − 1

= 4 .

− 7z + 12

3.2.11.

z + 3

z0 = 2 .

− 7 z

+ 10

3.2.13.

z + 4

= −2 .

+ 5z

3.2.15.

2z + 1

= 3 .

+ z − 12

3.2.17.

= 1 .

+ 2z

− 3

3.2.19.

z + 1

= −1.

− 3z

−

3.2.21.

z + 8

= −2 .

+ 2z − z

3.2.23.

2z + 4

= −1.

− 4z

− 5

3.2.25.

= 4 .

− 6z

3.2.27.

= 1 .

+ 5z

−

3.2.29.

= −2 .

− 2z

−

3.2.6.

z − 16

= 0 .

2 + 4z − 32

3.2.8.

z − 18

= 0 .

2z2

+ 9z −

3.2.10.

2z − 1

= 0 .

− z − 6

3.2.12.

3z − 6

= 0 .

− 5z + 4

3.2.14.

2z − 7

= 0 .

− z − 2

3.2.16.

z + 5

= 0 .

+ 4z +

3.2.18.

z − 4

= 0 .

− 2z − 15

3.2.20.

2z − 5

= 0 .

− 5z + 6

3.2.22.

2z − 7

= 0 .

− 7z +

3.2.24.

2z + 9

= 0 .

+ 9z + 20

3.2.26.

z − 4

= 0 .

− 8z + 15

3.2.28.

= 0 .

− z − 12

3.2.30.

= 0 .

− 2z −

3.3. Для заданої функції знайдіть ізольовані особливі точки та визначте їх характер.

3.3.1.	cos πz					3.3.2.	1			3.3.3. tg2z .
					.			.
	(2z − 1)(z2 + 1)						cos z
3.3.4.	z3	+ 1		.		3.3.5.	ez	− 1	.	3.3.6.	sin πz	.
	z2 (z	2 +	4)				z2 (z	+ 1)2
											(z − 2)4

330

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3233 / 4533 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.2019882.69 Кб45Vikova_psikhol_Konsp_Alp.doc
#
19.02.2016908.69 Кб58Vischa_geodeziya.docx
#
19.02.20168.29 Mб325Vischa_matematika_Chastina_1_Denisyuk_Repeta.pdf
#
19.02.20164.86 Mб993Vischa_matematika_Chastina_2_Denisyuk_Repeta.pdf
#
19.02.20162.32 Mб226Vischa_matematika_Chastina_2_Denisyuk_Repeta.pdf
#
19.02.20167.52 Mб519Vischa_matematika_Chastina_3_Denisyuk_Repeta.pdf
#
19.02.20161.68 Mб83Vitorskaya_N_Prichiny_Bolezn_Istoki_Zdorov_Pra.doc
#
01.03.2025847.52 Кб0Vizio.docx
#
26.08.201978.26 Кб0voprosy_1-10.docx
#
01.05.2025554.8 Кб0VOPROSY_k_modulnoy_KR.docx
#
19.02.201650.69 Кб80Voprosy_na_ekzamen_TS.doc