Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный авиационный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Vischa_matematika_Chastina_3_Denisyuk_Repeta

.pdf

Скачиваний:

519

Добавлен:

19.02.2016

Размер:

7.52 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 4516 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

2. Обчисліть потрійний інтеграл

xdxdydz

∫∫∫G (1+ 2 y + z)3 ,

якщо область G обмежена площинами x = 0 , y = 0 , z = 0 , x + y + z = 1 .

Розв’язання. Область G — прямокутна трикутна піраміда, обмежена координатними площинами і похилою площиною x + y + z = 1 (рис. 2.32).

Ця область правильна у напрямку будь-якої осі координат. Розставимо межі інтегрування у потрійному інтегралі. Спроектуємо область G на площину Оху, дістанемо область D ― трикутник ОАВ (рис. 2.33), межі якого визначаються рівняннями x = 0 , y = 0 , x + y = 1 (у площині Оху

z = 0 ). Для точок області D змінна х змінюється від нуля до одиниці, тобто x [0; 1] . Для будь-якого фіксованого х із цього проміжку у змінювати-

меться так: 0 ≤ y ≤ 1− x . Нарешті, для будь-яких фіксованих х та у з області

D змінна z набиратиме значень від z1 = 0 до

= 1− x − y , тобто z зміню-

ється від нижньої межі ― площини

z = 0

до верхньої межі ― площини

x + y + z = 1. Далі маємо

xdxdydz

1− x

1− x− y

∫∫∫

=∫ xdx ∫

∫

(1+ 2 y + z)

1− x

1− x− y

1− x

∫

xdx

∫

= −

∫

xdx

∫

−

dy =

−2(1

+ 2 y + z)

(2 − x + y)

(1+ 2y)

1− x

= −

∫ x

−

dx = −

∫ x

−

dx =

− x + y

2(1+ 2 y)

2(2x − 3)

x − 2

= −

∫

− 1

−

dx = −

−

x +

2x − 3

−

2x − 3

−

x − 2

−2 ln

−

− ln 2 +

ln 3.

1 В

1 О

x + y =1

Рис. 2.31

Рис. 2.32

Рис. 2.33

151

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

3. Обчисліть потрійний інтеграл

∫∫∫G 1− x2 dxdydz,

де область G обмежена поверхнями z = 1− x2 , x + y − 2 = 0 , y = 0 , z = 0 . Розв’язання. Побудуємо область G. Поверхня z = 1− x2 є параболіч-ний циліндр, напрямна якого ― парабола z = 1− x2, розміщена у площині Oxz, а твірні паралельні осі Oу. Циліндр перетинає площину Oxу (z = 0) по

прямих x = 1 та x = −1 . Площина x + y − 2 = 0	паралельна осі	Oz і пере-
тинає площину Oxу по прямій x + y − 2 = 0 .	Побудувавши перетин цих
поверхонь, дістанемо область G (рис. 2.34). Проекція області		G на пло-

щину Oxу (область D) має форму трапеції. При обчисленні подвійного інтеграла по області D доцільно використати формулу (2.4). При такому виборі порядку інтегрування х змінюється від –1 до 1, а у ― від прямої

y = 0

(вісь Ох) до прямої

y = 2 − x .

При обранні іншого порядку інте-

грування область D необхідно розбити на дві частини.

Отже, за формулою (2.18) маємо

2− x

1− x2

2− x

1− x2

∫∫∫

dxdydz = ∫

∫

ydy ∫

zdz = ∫

∫

dy =

− x

1− x

−1 1

−1

2− x

∫ (1− x2 )dx ∫ ydy =

∫ (1− x2 )

dx =

∫ (1− x2 )(2 − x)2 dx =

−1

− 4x − 3x2 + 4x3 − x4 )dx =

∫

4x − 2x2 − x3

+ x4 −

= 1, 4.

−1

4.Обчисліть потрійний інтеграл

∫∫∫(x2 + y2 )dxdydz ,

якщо область G обмежена площиною z = 3 і круговим параболоїдом x2 + y2 = 3z .

Розв’язання. Область інтегрування G (рис. 2.35) обмежена знизу параболоїдом x2 + y2 = 3z , а зверху ― площиною z = 3 . Проекція цієї області

на площину Оху ― круг, обмежений колом x2 + y2

результатом виключення змінної z із системи рівнянь x2 Введемо циліндричні координати

x = ρ cos ϕ , y = ρ sin ϕ , z = z .

152

=9 (це рівняння є

+y2 = 3z та z = 3 ).

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Рівняння параболоїда набирає вигляду z = ρ2 , а рівняння площини не

змінюється. Визначаємо межі зміни циліндричних координат в області G:

0 ≤ ϕ ≤ 2π , 0 ≤ ρ ≤ 3 , ρ2 ≤ z ≤ 3 . 3

Тепер обчислюємо потрійний інтеграл

											2π			3			3						2π		3				3
											2π			3			3						2π		3
	∫∫∫ (x2 + y2 )dxdydz = ∫													dϕ∫ dρ ∫					ρ2 ρdz = ∫ dϕ∫ ρ3 z										ρ	2	dρ =
		G										0		0				ρ2					0		0				ρ
		G										0		0				ρ2					0		0				3
																	3												3
2π			3					ρ2			2π				3		3			ρ5			2π 3ρ4						ρ6			3


∫			∫	3								∫			∫		3							∫
= dϕ ρ						3 −			dρ =					dϕ		3ρ −					dρ =						−					dϕ =
0			0					3				0			0					3				0	4			18				0
							2π	35		35			3				243		2π			81				81π
							2π	35		35			3				243		2π			81				81π
							∫							dϕ =					∫	dϕ =			2π =
					=				−	6				dϕ =			12			dϕ =		4	2π =			2		.
							0 4			6			0				12		0			4				2

5.Обчисліть потрійний інтеграл

∫∫∫x2 + y2 + z2 dxdydz ,

якщо область G обмежена сферою x2 + y2 + z2 = 2z .

Розв’язання. Виділивши повний квадрат за змінною z, запишемо рівняння сфери у вигляді x2 + y2 + (z − 1)2 = 1 . Отже, центр сфери лежить у

точці (0; 0; 1), а радіус дорівнює одиниці (див. рис. 2.36). Форма області G , а також вираз підінтегральної функції вказують на доцільність проведення обчислення потрійного інтеграла у сферичній системі координат. Врахову-

ючи, що у сферичних координатах			x2 + y2 + z2 = r2 , рівняння		сфери
набере вигляду	r2 = 2r cos θ , або	r = 2cos θ . Визначаємо межі зміни сфе-
ричних координат: 0 ≤ ϕ ≤ 2π ,		0 ≤ θ ≤ π ,		0 ≤ r ≤ 2 cos θ . Крім	того,
			2
x2 + y2 + z2 = r , J = r2 sin θ .
Використовуючи формулу (2.21), дістанемо
			π
∫∫∫		2π	2	2 cos θ
∫∫∫	x2 + y2 + z2 dxdydz = ∫		dϕ∫ dθ	∫ r r2 sin θdr =
V		0	0	0
					153

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

2π

2 cos θ

2π

2 cos θ

2π

= ∫

dϕ∫ sin θdθ ∫

r3 dr = ∫

dϕ∫ sin θ

dθ = ∫

dϕ∫ 4 cos4 θ sin θdθ =

2π

8π

= −4 ∫

dϕ∫ cos4 θd(cos θ) = −

∫ cos5

dϕ =

∫

dϕ =

2π =

z = 1 – х2

–1

–3

Рис. 2.34

Рис. 2.35

Рис. 2.36

6. Обчисліть об’єм тіла, обмеженого поверхнями

y = x, x + y − 4 = 0, x + z − 2 = 0, x = 0, z = 0 .

Розв’язання. Побудуємо задане тіло.

Площина

y = x проходить через

вісь Oz і перетинає площину Оху по прямій

y = x . Площина

x + y − 4 = 0

паралельна осі Oz і перетинається з площиною Оху по прямій x + y − 4 = 0 ,

а площина x + z − 2 = 0 паралельна осі Oу і перетинає площину Oхz по прямій x + z − 2 = 0 . Побудувавши перетин цих поверхонь, дістанемо тіло G (рис. 2.37), проекцією якого на площину Оху є область D — трикутник OMK. Прямі x + y = 4 та y = x перетинаються в точці M (2; 2) , отже, область

D проектується на вісь Ох у відрізок [0; 2], тобто х змінюється від 0 до 2, у ― від прямої y = x до прямої y = 4 − x , а z ― від площини z = 0 до площини

z = 2 − x . Для обчислення об’єму використовуємо формулу (2.18):

		2		4− x			2− x			2	4− x		2− x		2	4− x
V = ∫∫∫ dxdydz = ∫ dx ∫					dy ∫			dz = ∫ dx ∫				z		dy = ∫		(2 − x)dx ∫ dy =
G		0		x			0			0	x		0		0	x
2	(2 − x) y		4−x			2								2	(4 − 4x + x2 )dx =
2			4−x			2								2
= ∫				dx	=∫ (2 − x)(4 − 2x)dx = 2∫
0			x			0								0
							4x − 2x		2		x3	2		16
									2		x3	2		16
				=	2					+		=			.
				=	2					+		=			.
											3	0		3
											3	0		3

154

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

7. Обчислітьоб’ємтіла, обмеженого поверхнями x2 + y2 = 4,		z = y2 ,	z = 0.
Розв’язання. Побудуємо тіло. Поверхня	x2 + y2 = 4 ― нескінченний
круговий циліндр, що перетинає площину	Оху по колу	x2 + y2	= 4 з

центром у початку координат і радіусом R = 2 , його твірні паралельні осі Oz. Поверхня z = y2 ― нескінченний параболічний циліндр, що перети-

нає площину Oyz по параболі z = y2 , його твірні паралельні осі Ox. Пло-

щина z = 0 ― координатна площина Oxy. Утворене тіло (рис. 2.38) проектується на площину Oxy у круг D. Тому обчислення проведемо у циліндричних координатах. Оскільки полюс О міститься всередині області D, то при розстановці меж у подвійному інтегралі використаємо формулу (2.10).

Введемо циліндричні координати за формулами x = ρ cos ϕ , y = ρ sin ϕ , z = z.

Рівняння параболічного циліндра набирає вигляду z = ρ2 sin2 ϕ , а рів-

няння кола x2 + y2 = 4 спрощується до вигляду ρ = 2 . Визначаємо межі зміни циліндричних координат в області G:

0 ≤ ϕ ≤ 2π , 0 ≤ ρ ≤ 2 , 0 ≤ z ≤ ρ2 sin2 ϕ .

Тепер обчислюємо об’єм заданого тіла

V = ∫∫∫ dxdydz = ∫∫ ρdρdϕ			ρ2 sin2 ϕ						2π	2		ρ	2	sin	2	ϕ ρdρ =
			ρ2 sin2 ϕ						2π	2			2		2
			∫		dz = ∫ dϕ∫ z
G	D		0					0		0		0
2π	2	2π			ρ	4			2		2π
2π	2	2π				4			2		2π
= ∫ sin2 ϕdϕ∫ ρ3 dρ = ∫ sin2 ϕ									dϕ = 4 ∫ sin2 ϕdϕ =
0	0	0			4				0	0
= 22π	1− cos 2ϕ dϕ = 2			ϕ −			sin 2ϕ				2π	= 4π.
							sin 2ϕ				2π

∫	(	)						2
0								2			0

z
2	z
2

x + z = 2		O	K	z = y2
x + z = 2					G
				y	G
	2		4	y
4		М	D	D	2	y
	x + y = 4

x	x = y	x
x		x
Рис. 2.37		Рис. 2.38

155

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Т.2 ВПРАВИ ДЛЯ АУДИТОРНОЇ І САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

Розставте межі інтегрування у потрійному інтегралі ∫∫∫ f (x,									y, z)dV по
області G, обмеженій поверхнями:								G
області G, обмеженій поверхнями:
1.	x = 0 , y = 0 , z = 0 , 3x + 6 y + 4z − 24 = 0 .
2.	x = 0 , y = 0 , x = 2 , y = 3 , z = 0 , z = 3 − y .
3.	x2 + y2 = 4 , z = −1 , z = 4 .
Обчисліть інтеграли.
	1	1	2		1	1− x	1− x− y	dz
4. ∫ dx∫ dy∫				(x + 2 y + 4z)dz .	5. ∫ dx ∫		dy ∫	dz			.
4. ∫ dx∫ dy∫				(x + 2 y + 4z)dz .	5. ∫ dx ∫		dy ∫	(3x + 2 y + z − 4)		4	.
	0	0	0		0	0	0	(3x + 2 y + z − 4)
	1	2− y		1
6.	∫ dy ∫		dx∫ (x2 + y)zdz .
	0	y2		0

Обчисліть потрійні інтеграли в декартовій системі координат.

7.	∫∫∫ x2 yzdxdydz , якщо область G обмежена площинами	x = 0 ,	y = 0 ,
	G
z = 0 та x + y + z = 2 .
8.	∫∫∫ (x + y + z)dxdydz, область G обмежена площинами	x = 0 ,	y = 0 ,
	G
z = 0 , x = 1, y = 1 , z = 1 .
9.	∫∫∫ x2 dxdydz , якщо область G обмежена циліндром	x2 + y2	= 1 та
	G
площинами z = 0 і z = 3.

Обчисліть потрійні інтеграли, використавши перехід до циліндричних координат.

10. ∫∫∫ (x2 + y2 + z2 )dxdydz, якщо область G обмежена круговим ци-

ліндром x2 + y2 = 4 та площинами z = 0 , z = 1 .

11. ∫∫∫ zdxdydz , якщо область G обмежена конусом z2 = x2 + y2 та

площиною z = 2 .

156

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

12. ∫∫∫ (x + y2 + z2 )3 dxdydz , якщо область G обмежена параболоїдом

x = y2 + z2 та площиною x = 1 .

Обчисліть потрійні інтеграли, використавши перехід до сферичних координат.

13. ∫∫∫ x2 + y2 + z2 dxdydz , якщо область G обмежена сферою

x2 + y2 + z2 = y.

14. ∫∫∫ (x2 + y2 )dxdydz , якщо область G визначається нерівностями

z ≥ 0 та x2 + y2 + z2 ≤ 1.

15. ∫∫∫ (x2 + y2 + z2 )2 dxdydz , якщо G — куля x2 + y2 + z2 ≤ R2 .

Обчисліть об’єм тіла, обмеженого поверхнями.

16.	z = 4	− x2 ,	z = x2 + 2,	y = −1, y = 2.
17.	z = x2 + y2 ,		z = 1.
18.	z = 2	− x2 − y2 , z =		x2 + y2	(конус).
19.	x2 + y2 + z2		= 4, x2 + y2 + z2		= 9, z2 = x2 + y2 , z ≥ 0 .

Обчисліть масу тіла, обмеженого заданими поверхнями з густиною

γ(x, y, z) .

20.z = x2 + y2 , z = 4 , γ(x, y, z) = (x2 + y2 + z)2 .

21.x2 + y2 + z2 = R2 , γ(x, y, z) = (x2 + y2 + z2 )3 .

Відповіді

	4−	x		24−3x−6 y
8		2		4
1. ∫dx ∫			dy	∫
0	0			0

× ∫ f (x, y, z)dz. 4. 11.

−1

							2		3	3+ y						2	4− x2
f (x, y, z)dz.						2. ∫dx∫dy ∫ f (x, y, z)dz.									3. ∫ dx ∫ dy ×
							0		0	0						−2	− 4− x2
5.		1	. 6.	27	.	7.		16	. 8.		3	. 9.	3	π. 10.	28π	. 11. 4π . 12.		π .
	144			42			315			2			4		3			2

13.		π	. 14.		4	π.	15.	4πR7	. 16. 8.	17.	π	. 18.	5π	. 19.	19(2 − 2)π	. 20.	448π	. 21.	4πR9	.

	10			15				7			2		6		3		3		9

157

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Т.2 ІНДИВІДУАЛЬНІ ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ

2.1. Обчисліть потрійний інтеграл ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz. Пiдiнтегральна

функція f(x, у, z) та поверхнi, що обмежують область V, вказанi в таблицi 1.

Таблиця 1

№	f(x, у, z)	Область V

1	5y – 4	x = 0, y = 0, z = 0, x + y + 2z – 6 = 0.

2	6y + 2z	x = 0, y = 0, z = 0, 3x + y + z – 9 = 0.

3	5 + y + 2х	x = 0, y = 0, z = 0, 2x + 3y + z – 2 = 0.

4	4x – y	x = 0, y = 0, z = 0, 4x + y + 2z – 1 = 0.

5	3 + 4z	x = 0, y = 0, z = 0, x + 4y + z – 4 = 0.

6	7y – 2z	x = 0, y = 0, z = 0, 3x + y + 3z – 6 = 0.

7	xy + 1	x = 0, y = 0, z = 0, 6x + 2y +z – 8 = 0.

8	3y – 2 z	x = 0, y = 0, z = 0, 7x + y + z – 3 = 0.

9	2x + z	x = 0, y = 0, z = 0, 4x + 2y + 4z – 1 = 0.

10	3 + 4z	x = 0, y = 0, z = 0, 8x + 2y + 2z – 3 = 0.

11	4y + 5	x = 0, y = 0, z = 0, 3x + y + z – 6 = 0.

12	3x + 2	x = 0, y = 0, z = 0, 7x + y + 7z – 14 = 0.

13	3xy	x = 0, y = 0, z = 0, 2x + 4y + z – 8 = 0.

14	8y – 2z	x = 0, y = 0, z = 0, 5x + y + 10z – 10 = 0.

15	5x + z	x = 0, y = 0, z = 0, 3x + 2y + 6z – 6 = 0.

16	7 – 4z	x = 0, y = 0, z = 0, 4x + y + 2z – 8 = 0.

17	3x + 2y	x = 0, y = 0, z = 0, 6x + 3y + z – 18 = 0.

18	3xy + 2	x = 0, y = 0, z = 0, 5x + 15y + z – 15 = 0.

19	6z + 3	x = 0, y = 0, z = 0, 2x + y + 5z – 10 = 0.

20	4x + y	x = 0, y = 0, z = 0, 3x + 4y + z – 12 = 0.

21	xy	x = 0, y = 0, z = 0, 4x + 2y + 3z – 12 = 0.

22	5 – 8z	x = 0, y = 0, z = 0, 5x + 3y + 15z – 15 = 0.

23	y + 2	x = 0, y = 0, z = 0, x + 5y + 3z – 15 = 0.

24	y – 6z	x = 0, y = 0, z = 0, 2x + 5y + z – 10 = 0.

25	2x – y	x = 0, y = 0, z = 0, 3x + 6y + 2z – 12 = 0.

158

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Закінчення табл. 1

№	f(x, у, z)	Область V

26	3 – 2z	x = 0, y = 0, z = 0, x + 2y + 4z – 8 = 0.

27	х + 3y	x = 0, y = 0, z = 0, 8x + y + 2z – 8 = 0.

28	2z + 1	x = 0, y = 0, z = 0, 4x + 6y + 3z – 12 = 0.

29	2x + y	x = 0, y = 0, z = 0, 2x + 9y + 2z – 18 = 0.

30	у + 4z	x = 0, y = 0, z = 0, x + 5y + 4z – 20 = 0.

2.2. Знайдіть об’єм тіла, обмеженого вказаними поверхнями. Обчислення проведіть у циліндричній або сферичній системі координат.

2.2.1. x2 + y2 + z2			= 1, x2 + y2 + z2 = 9 ,			z =	x2 + y2	(конус).
2.2.2. x2 + y2 + z2			= 4 ,	x2 + y2 + z2 = 9 ,		z =	x2 + y2	( x ≥ 0 , y ≥ 0 ).
2.2.3. x2	+ y2	+ z2	= 4 ,	z =	x2 + y2 .
2.2.4. x2	+ y2	+ z2	= 16 ,	y =	x2 + z2 .
2.2.5. x2	+ y2	+ z2	= 4 ,	z =	3(x2 + y2 ) .
2.2.6. x2	+ y2	+ z2	= 4 ,	3z = x2 + y2 .

2.2.7.z = x2 + y2 , z = 8 − x2 − y2 (круговий параболоїд).

2.2.8.x = y2 + z2 , x = 18 − y2 − z2 .

2.2.9.z = 2(x2 + y2 ) , z = 12 − x2 − y2 .

2.2.10.2z = x2 + y2 , z = 6 − x2 − y2 .

2.2.11.z = x2 + y2 , z = 16 − 3(x2 + y2 ) .

2.2.12.y = x2 + z2 , y = 3 − 2(x2 + z2 ) .


2.2.13.	z = 3	x2 + y2 ,		z =		5 − 2(x2 + y2 ) .
2.2.14.	x =	y2 + z2 ,		3x =		18 − y2 − z2 .
2.2.15.	z = 6 −		x2 + y2 ,		z = x2 + y2 .
2.2.16.	y = 4 − 3		x2 + z2		(конус), y = x2 + z2 .
2.2.17.	x2 + y2 + z2 = 1,				x2 + y2 + z2 = 16 , z = x2 + y2 ( x ≥ 0 ).

159

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

2.2.18.	x2	+ y2	+ z2	= 9 ,	x2	+ y2		+ z2	= 25 ,	z = 3(x2 + y2 ) .
2.2.19.	x2	+ y2	+ z2	= 4 ,	x2	+ y	2	+ z2	= 25 ,	3y = x2 + z2 .
2.2.20.	x2	+ y2	+ z2	= 4 ,	3y =			x2 + z2 .

2.2.21.x2 + y2 = 4 , z = 1 , z = x + 2 y + 6 .

2.2.22.x2 + y2 = 9 , z = x2 + y2 + 4 , z = 0 .

2.2.23.x2 + z2 = 1 , y = −1 , y = 10 − x2 − z2 .

2.2.24.x2 + y2 = 2x , z = 0 , z = x + y + 5 .

2.2.25.x2 + y2 = 4 y , z = 0 , z = 2x + y + 6 .


2.2.26.	z =	25 − x2 − y2	(í àï ³âñô åðà),		y = − x, y = 3x ( y ≥ 0).
2.2.27.	z =	16 − x2 − y2 ,	3x − y = 0,		x − 3y = 0 (x ≥ 0, y ≥ 0).
2.2.28.	z =	4 − x2 − y2 ,	y = x, y = 0 (x ≥ 0, y ≥ 0).
2.2.29.	z =	9 − x2 − y2 ,	3x − y = 0,	y = x (x ≥ 0, y ≥ 0).
2.2.30.	x2 + y2 + z2 = 4 ,		x2 + y2 + z2	= 4z (сфера).

Тема 3. КРИВОЛІНІЙНІ ІНТЕГРАЛИ

Криволінійні інтеграли першого та другого роду. Властивості та обчислення. Формула Гріна. Умови незалежності криволінійного інтеграла від форми шляху інтегрування. Інтегрування повних диференціалів. Застосування.

Література: [3, розділ 2, п. 2.4], [9, розділ 10, §3], [15, розділ 12, п. 12.3], [16, розділ 15, §1–4], [17, розділ 3, §9–10].

Т.3 ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

3.1. Криволінійні інтеграли першого роду. Основні поняття

Криволінійний інтеграл є узагальненням визначеного інтеграла на випадок, коли областю інтегрування є деяка крива.

Нехай у площині Оху задано гладку або кусково-гладку криву L, обмежену точками А і В (рис. 2.39), і на цій кривій визначено неперервну

160

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 4516 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.20251.93 Mб0VIP_Posibnik_z_vikonan_KR_VAD.doc
#
19.02.2016908.69 Кб58Vischa_geodeziya.docx
#
19.02.20168.29 Mб325Vischa_matematika_Chastina_1_Denisyuk_Repeta.pdf
#
19.02.20164.86 Mб993Vischa_matematika_Chastina_2_Denisyuk_Repeta.pdf
#
19.02.20162.32 Mб226Vischa_matematika_Chastina_2_Denisyuk_Repeta.pdf
#
19.02.20167.52 Mб519Vischa_matematika_Chastina_3_Denisyuk_Repeta.pdf
#
19.02.20161.68 Mб83Vitorskaya_N_Prichiny_Bolezn_Istoki_Zdorov_Pra.doc
#
01.03.2025847.52 Кб0Vizio.docx
#
26.08.201978.26 Кб0voprosy_1-10.docx
#
01.05.2025554.8 Кб0VOPROSY_k_modulnoy_KR.docx
#
19.02.201650.69 Кб79Voprosy_na_ekzamen_TS.doc