Типовой расчет №2 ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ №2

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Повторите теоретический материал.

1. Векторы. Линейные операции над векторами.

2. Проекция вектора на ось. Координаты вектора.

3. Скалярное произведение векторов и его свойства. Приложения скалярного произведения.

4. N-мерный вектор. Векторное пространство.

5. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Базис векторного пространства.

6. Евклидово пространство.

Задание 6. В некотором базисе даны 4 вектора: Показать, что векторы образуют базис. Найти координаты вектора в этом базисе.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

21. 

22. 

23. 

24. 

25. 

26. 

27. 

28. 

29. 

30. 

Задание 7. Решить задачу.

1. Найти модуль вектора если , угол между векторами и равен 120 ^о .

2. Даны: Вычислить

3. Даны точки А(1,2,1), В(2,-1,3) и С(3,). При каких значениях и точка С лежит на прямой АВ ?

4. Найти проекцию вектора на вектор , если

5. Векторы и образуют угол , причем Определить

6. Даны векторы: . Найти вектор при условии, что он перпендикулярен к оси OZ и удовлетворяет условиям: .

7. Векторы и образуют угол . Зная, что , , вычислить угол между векторами и .

8. Доказать, что четырехугольник с вершинами А (2;1;-4), В(1;3;5), С(7;2;3), D(8;0;-6) является параллелограммом. Найти длины его сторон.

9. Найти модуль вектора если , а угол между ними равен .

10. Даны: и Определить .

11. Определить координаты и модули диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и .

12. Доказать, что точки А( -2; 1; 4), В( 0; -1; -3), С( 6; -3; -10) лежат на одной прямой, причем точка В расположена между точками А и С.

13. Векторы и взаимно перпендикулярны, а вектор образует с ними углы, равные . Зная, что , вычислить .

14. Даны три вектора: , и . Вычислить проекцию вектора на направление вектора .

15. Вычислить внутренние углы треугольника АВС, если А( 1; 2; 1), В( 3; -1;7), С( 7; 4; -2). Убедиться, что этот треугольник равнобедренный.

16. Даны точки А( 7; -4; 1), В( 12; -3; 1), С( 10; 1; 5). Требуется: 1) записать векторы и в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами и .

17. Определить при каком значении векторы и взаимно перпендикулярны, если .

18. Найти вектор , зная, что он перпендикулярен векторам и и удовлетворяет условию .

19. Векторы и образуют угол , причем , . Определить и .

20. Даны точки А( -2; 3; -4), В( 3; 2; 5), С( -1; -1; 2), D( 3; 2; -4). Вычислить проекцию вектора на направление вектора .

21. Найти вектор , удовлетворяющий условиям , если , и .

22. Вектор составляет с осями и углы и . Какой угол он составляет с осью ?

23. Коллинеарны ли векторы и если .

24. Вычислить проекцию вектора на направление вектора , если а угол между векторами равен

25. Найти вектор , перпендикулярный векторам , , если известно, что его проекция на вектор равна 1.

26. Вектор составляет с осями координат острые углы причем . Найти его координаты, если .

27. Векторы и образуют угол , причем . При каком значении векторы и перпендикулярны?

28. Вектор перпендикулярен к вектору , а вектор - к вектору . Определить угол между векторами и .

29. Даны вершины треугольника А( -1; -2; 4), В( -4; -2; 0), С( 3; -2; 1). Найти орт медианы ВЕ.

30. Перпендикулярны ли векторы и если ?

Задание 8. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы.