6. Побудувати поліном Жегалкіна для функцій.

1.	16.
2.	17.
3.	18.
4.	19.
5.	20.
6.	21.
7.	22.
8.	23.
9.	24.
10.	25.
11.	26.
12.	27.
13.	28.
14.	29.
15.	30.

7. Перевірити самодвоїстість функцій.

1.	16.
2.	17.
3.	18.
4.	19.
5.	20.
6.	21.
7.	22.
8.	23.
9.	24.
10.	25.
11.	26.
12.	27.
13.	28.
14.	29.
15.	30.

8. Перевірити монотонність функцій.

1.	16.
2.	17.
3.	18.
4.	19.
5.	20.
6.	21.
7.	22.
8. (0000)	23.
9.	24.
10.	25.
11.	26.
12.	27.
13.	28.
14.	29.
15.	30.

9. Перевірити повноту наступних систем.

1.	16.
2.	17.
3.	18.
4.	19.
5.	20.
6.	21.
7.	22.
8.	23.
9.	24.
10.	25.
11.	26.
12.	27.
13.	28
14.	29.
15.	30.

10. Спростити схеми.

1.

2.

Розв'язок типового варіанту.

1. Складемо таблицю істинності для формули :

0	0	1	1	1
0	1	1	0	0
1	0	0	1	1
1	1	0	0	1

1. Перевіремо еквивалентність формул и , складемо для них таблиці істиності.

0	0	0	1	0	1
0	1	1	0	0	1
1	0	1	1	1	0
1	1	1	0	0	1

Формулы не еквивалентні, так як 3-й и 6-й стовбці таблиці не співпадають.

3. Для спрощення формули використаємо правило виключення імплікації

.

.

4. Використовуючи закони логіки приведемо формулу до виду, який містить тільки диз'юнкції елементарних кон'юнкцій. Отримана формула і буде шуканою ДНФ:

Для побудови ДДНФ складемо таблицю істинності для даної формули:

A	B	C	AB	(AB)C
0	0	0	0	0	1
0	0	1	0	1	0
0	1	0	0	0	1
0	1	1	0	1	0
1	0	0	0	0	1
1	0	1	0	1	0
1	1	0	1	1	0
1	1	1	1	1	0

Позначаємо ті рядки таблиці, в яких формула (останній рядок) приймає значення "1". Для кожної такої рядка випишемо формулу, справжню на наборі змінних A, B, C цього рядка: рядок 1 -; рядок 3 -; рядок 5 -. Диз'юнкція цих трьох формул буде приймати значення "1" тільки на наборах змінних в рядках 1, 3, 5, а отже і буде шуканої досконалої дізьюнктівной нормальною формою (ДДНФ): Помечаем те строки таблицы, в которых формула (последний столбец) принимает значение “1”. Для каждой такой строки выпишем формулу, истинную на наборе переменных A,B,C данной строки: строка 1 – ; строка 3 – ; строка 5 – . Дизъюнкция этих трех формул будет принимать значение “1” только на наборах переменных в строках 1, 3, 5, а следовательно и будет искомой совершенной дизьюнктивной нормальной формой (СДНФ):

5.

Для того, щоб записати формулу в наведеному вигляді, необхідно, користуючись формулою, виключити операцію імплікації, а потім "опустити" операцію заперечення на прості змінні:.

6.

Спосіб 1. (Метод невизначених коефіцієнтів). Складаємо таблицю істинності для функції x₁x₂

x1	x2	x1x2
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Запишемо поліном Жегалкіна з невідомими коефіцієнтами a₀, a₁, a₂, a₁₂, для функції від двох змінних: x₁x₂ = a₀ a₁ x₁ a₂ x₂ a₁₂ x₁ x₂.

Підставляючи в це розкладання значення x₁ і x₂ з таблиці, визначаємо невідомі коефіцієнти: Підставляючи x₁=0, x₂=0, отримаємо: 1= a₀; x₁=0, x₂=1 — 0=1 a₂ a₂=1;

x₁=1, x₂=0 — 0=1 a₁ a₁=1;

x₁=1, x₂=1— 1=1 a₁₂ a₁₂=0.

Поліном Жегалкіна має вигляд: x₁~x₂ = 1 x₁ x₂.

Спосіб 2. (Еквівалентні перетворення). Спочатку запишемо ДДНФ еквівалентності: {т.к. } =

{ оскільки } { далі , , тому }

7.

Спочатку трансформуємо вихідну формулу:; .. ;.. Нехай , тоді , , тому , отже функція несамодвоїста.

8.

Функція немонотонна, тому що , Але.. 9.

Щоб довести повноту системи необхідно перевірити, що система містить функцію не зберігає 0, функцію не зберігає 1, немонотонної функцію, несамодвойственную функцію і нелінійну функцію. Доведемо повноту системи. Позначимо і випишемо її таблицю істинності

0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Функція f₁ не зберігає 0. З'ясуємо, чи є f₁ самодвоїстою.

1	1	1	0
1	0	0	1
0	1	0	1
0	0	1	0

Оскільки, то f₁ несамодвоїста. Функція немонотонна, і не зберігає 1. Знайдемо поліном Жегалкіна для = ;

0	0	1	1	1
0	1	1	0	0
1	0	0	1	1
1	1	0	0	1

; ; ; ;

Функція нелінійна. Згідно теоремі про повноту - повна система.

10.

Складемо функцію провідності для схеми

: