19. Загальні поняття про редукцію, що застосовується у вищій геодезії.

Редукційною задачею геодезії називають теорію переходу від безпосередньо виміряних величин на фізичній поверхні Землі до відповідних їм величинам на відносній поверхні – референц-еліпсоїді.

Най зрозумілішим і строгішим рішенням редукційної задачі є метод проектування. В цьому методі проектування пунктів астрономо-геодезичної мережі (АГМ) з фізичної поверхні Землі на поверхню референц-еліпсоїда виконують по нормалях до референц-еліпсоїда, завдяки чому геодезичні координати B, L пунктів на фізичній поверхні і точок, які являються їх проекціями на еліпсоїді, співпадають.

Використовуючи додатково знайдені геодезичні висоти H, можна отримати положення пунктів фізичної поверхні в будь-якій іншій просторовій системі координат.

При вирішенні редукційних задач виникають редукції трьох видів:

А) за відхилення виска, тобто за перехід від астрономічного зеніту, який відповідає відвислій лінії, по якій орієнтується вертикальна вісь геодезичного чи астрономічного прибору, до геодезичного зеніту – напрямку нормалі до референц-еліпсоїда;

Б) за висоту над поверхнею референц-еліпсоїда;

В) за перехід від елементів, отриманих після введення редукції вигляду А) чи Б) і відповідних нормальних перерізів референц-еліпсоїда, до елементів, які відповідають геодезичним лініям.

Виміряний горизонтальний кут в пункті фізичної поверхні Землі М являє собою двогранний кут, ребром якого є лінія, яка співпадає з вертикальною віссю кутомірного приладу, тобто прямовисна лінія. Після проектування ми повинні визначити двогранний кут, ребром якого є нормаль до референца-еліпсоїда, а гранями – нормальні площини.

Ці обрахунки виконують в два етапи. Спочатку, залишаючись в пункті М, вводять поправку ύ’ за перехід до двогранного кута, ребром якого є нормаль до референц-еліпсоїда, тобто вводять поправку за відхилення виска, а потім враховують додаткову редукцію ύ’’, яка виникає при переході від напрямків на візирні цілі до проекцій на референц-еліпсоїді.

З рис.1 видно, що спостережуваний напрямок, якому відповідає дуга великого кола ZO, не зміниться при переході від астрономічного зеніту до геодезичного, оскільки напрямки дуг ZO і ZO співпадають. Таким чином редукція за відхилення виска для напрямку МО рівна нулю.

Редукцію будь-якого іншого напрямку, наприклад MN, можна тепер представити як зміну кута між горизонтальними напрямками на N і О при переході від астрономічного зеніту до геодезичного. З рис.1 маємо:

Дану різницю краще всього визначити з прямокутного трикутника , який наближено можна прийняти за плоский. Маємо: (19.1)

В трикутнику дуга представляє собою складову відхилення виска в азимуті А-90º, що на 180º відрізняється від напрямку, по якому визначається складова Тому вказану дугу можна прийняти рівною –β. З врахуванням формули (19.1) з трикутника знаходимо: , звідки з врахуванням, що , з наближенням отримаємо: ύ = βctgz = = (ήcosA – ξsinA)ctgz. (19.2)

Отримана поправка принципово нічим не відрізняється від поправки за нахил горизонтальної осі прибору, яку вивчають в курсах геодезії і практичної астрономії.

Редукція за висоту зумовлена тим, що нормалі до еліпсоїда в загальному випадку являються перехрещеними прямими, і тому проекція пункту, який спостерігається, на референц-еліпсоїд по нормалі до референц-еліпсоїда, не лежить в площині, що включає нормаль в пункті спостереження і виміряний напрямок.

Рис.19.1…………………………… ………………………………Рис.19.2

Нехай з пункту М спостерігається предмет N, який має геодезичну висоту Hнад поверхнею еліпсоїда. Проекції кінців лінії візування на еліпсоїд позначені через m і n. Центр еліпсоїда знаходиться в точці О. Вісь обертання проходить через полюс Р, на ній відмічено положення кінців нормалей до еліпсоїда m і n, а mP і nP – меридіани. Пунктиром позначено прямий нормальний переріз еліпсоїда в точці m, який є слідом нормальної площини, що включає пункт N, і пересікає меридіан в точці n’. Напрямок mn’ отримується після введення в спостережуваний напрямок редукції за відхилення виска(описано вище). Щоб перейти до дійсної проекції напрямку MN на референц-еліпсоїд, необхідна додаткова редукція ύ, яка рівна куту nmn’.

З розв’язків малого сферичного трикутника nmn’ представимо шукану редукцію з достатнім наближенням в вигляді ,s–довжина дуги mn,A- зворотній азимут цієї дуги.

Задача зводиться до знаходження nn’. З трикутника Nnn’ маємо: nn’ - Hsinν. (19.3)

В свою чергу з трикутника Nmn за теоремою синусів отримуємо:

Можна записати: .(19.4).

Припускається, що: ,звідки Далі замінимо де , М – середній радіус кривизни в меридіані вздовж дуги mn. Таким чином, отримаємо:

Підставляючи отриманий вираз в (19.3) і враховуючи, що з достатньою точністю можна виміряти cosB≈ cosB, A-180º≈ A=А, отримаємо: ύ (19.5)

Ця редукція, пропорційна Н, отримала назву поправки за висоту спостережуваного пункту. С наближенням приймають, якщо Н виражено в км , - в секундах дуги,