Вариант№15.

Задание №1.

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄:

А₁(-6;-4;-2), А₂(1;-3;-5), А₃(4;-2;-1), А₄(0;2;2). Найти:

1)Длину ребра А₁А₂;

2) Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) Угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) Площадь грани А₁А₂А₃;

5) Объем пирамиды.

Задание№2.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ ребро AB=, ребро AD=, ребро АА₁=. Точка К- середина ребра ВВ₁. Найдите площадь сечения, проходящего через точки A₁,D₁ и К.

Задание№3.

Даны три вершины параллелограмма А(-4;-1;0), B(1;-3;-5), C(5;-2;-1). Найти длину высоты, опущенной из вершины С (через площадь параллелограмма).

Задание№4.

Точки А(-0;-3;-1), В(5;-3;-1), С(5;-3;-5), D(-6;t;2). служат вершинами параллелепипеда, объем которого равен 36. Найти t.

Задание№5.

Докажите, что если точки пересечения медиан треугольников ABC и А₁В₁С₁ совпадают, то прямые АА₁, ВВ₁ и СС₁ параллельны некоторой плоскости.

Задание№6.

Ребро куба  АBCDA₁B₁C₁D₁ равно . Найдите:

а) расстояние от вершины С до плоскости BDC₁;

б) угол между диагональю грани и плоскостью

Задание№7.

 На ребре СС₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ отмечена точка Е так, что СЕ:ЕС₁=4:6. Найдите угол между прямыми ВЕ и АС₁.

Задание№8.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ AB=BC=, AA₁=3. Сечение параллелепипеда проходит через точки B и D и образует с плоскостью ABC угол=arctg. Найдите площадь сечения.

Задание№9.

Найдите площадь сечения правильной четырехугольной пирамиды SАВСD плоскостью, параллельной апофеме SL боковой грани SВС и медиане АМ боковой грани SАВ и проходящей через середину бокового ребра SC, если сторона основания пирамиды равна 4, а расстояние от вершины пирамиды до секущей плоскости равно 30/11.

Задание№10.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и K середины ребер соответственно A₁B₁ и B₁C₁. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Вариант№16.

Задание №1.

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄:

А₁(-2;0;-3), А₂(8;-3;-5), А₃(4;-3;-4), А₄(-10;0;2). Найти:

1)Длину ребра А₁А₂;

2) Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) Угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) Площадь грани А₁А₂А₃;

5) Объем пирамиды.

Задание №2.

Диагональ основания правильной четырехугольной призмы равна , а диагональ призмы наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найдите площадь сечения призы, проходящего через сторону нижнего основания и противоположную сторону верхнего основания.

Задание№3.

Даны координаты вершин параллелепипеда: A(-0;-5;-3), B(5;-6;-10), C(7;-5;-3), D(-6;2;2). Найти объем параллелепипеда, его высоту, опущенную из вершины С, угол между вектором AD и гранью, в которой лежат векторы АВ и АС.

Задание №4.

Проверить, лежат ли в одной плоскости точки A(6;4;1), B(5;2;7), C(3;7;0), D(0;2;1). Найти линейную зависимость вектора , если это возможно.

Задание №5.

Докажите, что если точки пересечения медиан треугольников ABC и А₁В₁С₁ совпадают, то прямые АА₁, ВВ₁ и СС₁ параллельны некоторой плоскости.

Задание №6.

Ребро куба  АBCDA₁B₁C₁D₁ равно . Найдите:

а) расстояние от вершины С до плоскости BDC₁;

б) угол между диагональю грани и плоскостью

Задание №7.

 Найдите расстояние между скрещивающимися диагоналями АВ₁ и ВС₁ смежных граней АА₁В₁В и ВВ₁С₁С куба ABCDA₁B₁C₁D₁, если ребро этого куба равно.

Задание №8.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ со стороной a точка K является серединой стороны верхнего основания B₁C₁, точка L делит другую сторону C₁D₁ этого основания в отношении 4:3, считая от вершины С₁ , точка N является серединой бокового ребра АА₁. Найдите площадь сечения, проходящего через точки К, L, N.

Задание№9.

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны , найдите косинус угла между прямымиAB и CA₁.

Задание №10.

В правильной прямоугольной призме ABCA₁B₁C₁все ребра которой равны найдите квадрат косинуса угла между прямыми АВ и А₁С.