Вариант№13.

Задание№1.

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄:

А₁(0;6;8), А₂(6;3;2), А₃(9;4;6), А₄(2;8;10). Найти:

1)Длину ребра А₁А₂;

2) Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) Угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) Площадь грани А₁А₂А₃;

5) Объем пирамиды.

Задание№2.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ ребро AB= , ребро AD=, ребро АА₁=2. Точка К- середина ребра ВВ₁. Найдите площадь сечения, проходящего через точки A₁,D₁ и К.

Задание№3.

Точки A(8;4;6), B(3;0;2), C(1;2;4), E(1;t;2) служат вершинами параллелепипеда, объем которого равен 16. Найти t.

Задание№4.

Проверить, лежат ли в одной плоскости точки А(3;2;3), B(3;-1;1), C(5;0;2), D(-4;3;5) Найти линейную зависимость вектора , если это возможно.

Задание№5.

Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ построенный на векторах . Найти высоту, проведенную из вершины A₁ на грань ABCD.

Задание№6.

Ребро куба  АBCDA₁B₁C₁D₁ равно. Найдите:

а) расстояние от вершины С до плоскости BDC₁;

б) угол между диагональю грани и плоскостью

Задание№7.

 На ребре СС₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ отмечена точка K так, что СЕ:ЕС₁=3:2. Найдите угол между прямыми ВK и АС₁.

Задание№8.

В правильной треугольной пирамиде МАВС с вершиной М высота равна 6, а боковые ребра равны 9. Найдите площадь сечения этой пирамиды плоскостью, проходящей через середины сторон АВ и АС параллельно прямой МА.

Задание№9.

В правильной четырехугольной пирамиде АВСMT со стороной основания АВ=6 и высотой ТО₁=2. Найдите косинус угла между прямыми ОТ и MK, где О и К - середины ребер АВ и ТС.

Задание№10.

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны , точка D середина ребра A₁B₁. Найдите тангенс угла между прямыми AD и BC₁. 

Вариант №14.

Задание№1.

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄:

А₁(2;-3;5), А₂(0;-1;-2), А₃(3;-4;-3), А₄(0;-2;3). Найти:

1)Длину ребра А₁А₂;

2) Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) Угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) Площадь грани А₁А₂А₃;

5) Объем пирамиды.

Задание№2.

В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны , а боковые рёбра равны 8.Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку B и середину ребра MD параллельно прямой AC.

Задание№3.

Проверить, лежат ли точки A(2;5;0), B(3;2;4), C(3;0;0), D(2;2;-2) в одной плоскости.

Задание№4.

Точки A(-3;2;-3), B(5;5;5), C(0;1;1), E(5;t;2) служат вершинами параллелепипеда, объем которого равен 36. Найти t.

Задание№5.

Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ построенный на векторах . Найти высоту, проведенную из вершины A₁ на грань ABCD.

Задание№6.

Ребро куба  АBCDA₁B₁C₁D₁ равно . Найдите:

а) расстояние от вершины С до плоскости BDC₁;

б) угол между диагональю грани и плоскостью

Задание№7.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ ,AB = , AD=AA₁=. Найдите угол между прямой АВ₁ и плоскостью АВС₁.

Задание №8.

Точка Е - середина ребра АА₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите площадь сечения куба плоскостью C₁DE, если ребра куба равны .

Задание№9.

В правильной четырехугольной пирамиде ABCDS с вершиной S боковое ребро АS вдвое меньше стороны основания АВ. Найдите угол между прямыми AS и BK, где К – точка пересечения медиан грани СDS.

Задание №10.

Длины всех ребер правильной четырехугольной пирамиды SABCD равны . Найдите угол между прямыми SН и ВМ, если отрезок SН - высота пирамиды, точка М - середина ее бокового ребра АS.