182 Глава 15. ПОСТРОЕНИЕ БОЛЬШИХ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ

В отличие от вероятностных тестов, рассмотрим теперь такие способы проверки чисел на простоту, при применении которых можно утверждать, что проверяемые числа действительно являются простыми. Эти способы применяются для построения псевдослучайных простых чисел [16].

Общая схема в данном случае такова: выбирается псевдослучайное число, которое тестируется на простоту. Сам тест состоит в построении членов некоторой последовательности, которые связаны с тестируемым числом и имеют особенности, если тестируемое число – простое.

Поскольку аналогичные особенности могут возникать и при тестировании некоторых составных чисел, то требуется ряд дополнительных условий, которые являются достаточными, чтобы доказать простоту тестируемого числа. Подобные процедуры называются алгоритмами построения доказуемо простых чисел.

Заметим, что указанный подход предполагает, что при выборе большого случайного числа существует возможность организовать в его окрестности успешный поиск простых чисел. Данная возможность обеспечивается, например, т.н. теоремой Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии.

Эта теорема утверждает, что в арифметической прогрессии вида

n= 0,1,2K, где (a,b)=1, существует бесконечно много простых чисел.

15.1.Детерминированный тест, основанный на обобщенном критерии Люка

Основой для перехода от вероятностных тестов к ряду детерминированных тестов служит (n −1)-критерий Люка.

Напомним, что в соответствии с этим критерием натуральное число n является простым в том и только в том случае, если существует натуральное число a, обеспечивающее выполнение следующих условий для любого

Детерминированный тест, основанный на обобщенном критерии Люка 183

нетривиального делителя q числа n −1: an−1 =1(n), q ||(n −1)

a(n−1)q ≠1(n).

Ранее мы показали, что в критерии Люка можно заменить a на однако требование полной факторизации числа n −1 осталось.

Рассмотрим теперь ряд математических утверждений, которые можно применить для обоснования более оптимальных детерминированных тестов на простоту, основанных на знании не всех, а части простых делителей числа n −1.

Прежде всего, нам понадобится т.н. теорема Поклингтона о виде простых делителей некоторых целых чисел.

15.1.1. Теорема Поклингтона

Теорема (Поклингтон). Пусть n = qk R +1 >1, где q - простое, не делящее

R и p - произвольный простой делитель n. Если существует целое a такое, что an−1 =1(n) и НОД(a(n−1)q −1, n)=1, то каждый простой делитель p числа n

имеет вид p = qk r +1, при некотором r = r(p).

Замечание. Условие НОД(a(n−1)q −1, n)=1 эквивалентно условию p ||n

a (n −1)q ≠ 1(p ). Если m - порядок числа a по модулю p, то n-1=md, где d -

целое. Допустим, q делит d. В этом случае (n-1)/q=m(d/q), где (d/q) - целое,

следовательно, a(n−1)q =1(p), что невозможно. Поскольку n-1=md=qkR, то m

делится на qk. Однако m обязано делить число p-1. Следовательно, p=qkr+1 при некотором r=r(p).

184 Глава 15. ПОСТРОЕНИЕ БОЛЬШИХ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ

15.1.2. Обобщение критерия Люка

Теорема Поклингтона позволяет обобщить критерий Люка на ситуацию, когда число n-1 факторизовано не полностью, скажем, n-1=FR, где простые сомножители F известны.

Теорема. Пусть n = FR +1>1, где 0<R<F. Если для любого простого делителя q числа F существует целое a = a(q), такое, что an−1 =1(n) и НОД(a(n−1)q −1, n)=1, то число n - простое.

Проведем доказательство от противного. Пусть n составное, тогда

существует его простой делитель p , такой, что p ≤ n . Зафиксируем q ||F .

Пусть k максимальное число с условием qk | F , k ≥1. Аналогично, пусть

факторизованной части F числа Q(q1 ) и Q(q2 ) взаимно просты.

Построим для каждого q ||F число b(q). Произведение всех таких чисел обозначим через B. Поскольку порядок числа B по модулю p равен наименьшему общему кратному чисел Q(q), то он равен F . Но порядок любого элемента по модулю p делит p −1, поэтому F ≤ p −1.