166 Глава 13. ТЕСТ ФЕРМА ПРОВЕРКИ ЧИСЕЛ НА ПРОСТОТУ

13.2. Тест на основе малой теоремы Ферма

При построении вероятностных критериев простоты возникает ряд типичных вопросов, которые удобно рассмотреть на примере, в качестве которого выберем тест на основе малой теоремы Ферма. Как известно, эта теорема утверждает, что если n - простое, то для всех a , взаимно простых с n,

выполняется условие (сравнение Ферма): an−1 =1(n).

Таким образом, если сравнение Ферма не выполнено, хотя бы для одного числа в интервале{2,K,n −1}, то n - составное.

Тест на основе малой теоремы Ферма заключается в следующем.

Псевдослучайно выбираем вычет a {2,K,n −1}, проверяем условие

(a,n)=1. Если это условие не выполнено, значит, n - составное. Проверяем

сравнение Ферма. Если оно не выполняется, то число n - составное. Иначе, повторяем тест для другого значения a.

Очевидно, основной вопрос состоит в том, чтобы оценить, в какой мере тест является эффективным. Прежде всего, следует выяснить, существуют ли составные числа n, для которых при некотором a выполняется условие малой теоремы Ферма. Оказывается это так, поскольку существуют контрпримеры:

2340 = (210 )34 =1(341), 724 =1(25).

13.2.1. Основные свойства псевдопростых чисел

Назовем составное число n псевдопростым по основанию a, если пара

(a,n) удовлетворяет сравнению Ферма an−1 =1(n).

Оказывается, можно показать, что для любого a >1 существует бесконечно много псевдопростых чисел по основанию a.

Основные свойства псевдопростых чисел 167

В частности, если пара (2,n) удовлетворяет указанному сравнению, то ему удовлетворяет также и пара (2,2n −1). Действительно, по условию,

2n−1 −1 делится на n, поэтому 2(2n−1 −1)= 2tn .

Следовательно, 22tn −1 = (2n −1)(2(2t−1)n +K+1)= 0 mod(2n −1).

Но 2tn = (2n −1)−1, а число 2n −1 не является простым, поскольку n -

составное. Поэтому число 2n −1 является псевдопростым по основанию два.

Основные свойства псевдопростых чисел таковы.

Теорема [16]. Пусть n - нечетное составное число. Тогда:

а) n псевдопростое по основанию a в том и только том случае, когда

(a,n)=1 и ordna |n −1;

б) если n псевдопростое по основаниям a и b, то n псевдопростое по основаниям ab и ab−1(modn);

в) множество Fn ={a Zn : an−1 =1(mod n)}образует мультипликативную

подгруппу в мультипликативной группе Zn* обратимых элементов кольца вычетов по модулю n ;

г) если n не является псевдопростым по основанию a, хотя бы для одного

если тест Ферма выявляет составное n при одном основании a, то существует не менее (n −1)2 оснований с аналогичным свойством.

Действительно, свойство а) следует из определения ordna . Свойства б) и

в) следуют из правила почленного перемножения частей сравнений и проверки сравнения Ферма для основания b−1 .

168 Глава 13. ТЕСТ ФЕРМА ПРОВЕРКИ ЧИСЕЛ НА ПРОСТОТУ

Докажем свойство г). Пусть Fn ={a1,K,as } и a - основание, по которому

n не является псевдопростым. Тогда для любого i пара не

удовлетворяет сравнению Ферма. Поэтому количество оснований, для которых

больше n, что невозможно.

Таким образом, можно заключить, что если существует (не известное нам) основание, по которому n не является псевдопростым, то при повторении теста Ферма k раз вероятность k-кратного выбора оснований из множества Fn не

превосходит (12)k . В этом случае вероятность ошибки теста стремится к нулю с увеличениемk.

Проблема может возникнуть лишь в том случае, когда n является псевдопростым для всех (ненулевых) оснований. Оказывается, такие числа существуют. Они называются числами Кармайкла. Например, числом Кармайкла является число n =561=3 11 17 .

13.2.2. Свойства чисел Кармайкла

Свойства чисел Кармайкла описываются следующей теоремой.

Теорема (Кармайкл). Пусть n - нечетное составное число. Тогда

(n-1) - и (n+1) - Критерии Люка 169

Числа Кармайкла являются достаточно редкими. В пределах до 100000

существует лишь 16 чисел Кармайкла: 561, 1105, 1729, 2465, 2821, 6601, 8911, 10585, 15841, 29341, 41041, 46657 52633, 62745, 63973, 75361.

13.2.3. (n-1) - критерий Люка

Из предыдущего можно сделать вывод, что в тесте Ферма на простоту простые числа и числа Кармайкла неразличимы.

Тем не менее, сравнение Ферма можно использовать для построения тестов, достаточных для доказательства простоты конкретного числа, путем введения дополнительных условий в соответствующие критерии.

Достаточно эффективным критерием является т.н. (n −1)- критерий Люка,

для применения которого должна быть известны все простые делители числа

(n −1). Основой данного критерия является следующая теорема.

Теорема (Люка). Натуральное число n является простым в том и только том случае, когда существует такое натуральное число a, что для любого собственного делителя q ||(n −1) числа n −1 выполняются следующие условия: an−1 =1(n), a(n−1)q ≠1(n).

k

Доказательство. Пусть n - простое и n −1 = ∏qimi . Тогда существует

i=1

элемент a, порядок которого максимален, т.е. равен условия теоремы выполняются для всех q ||(n −1).

Обратно, предположим, что для некоторого элемента a выполнены условия теоремы и порядок числа a по модулю n равен m, где m≠n−1. В этом случае m|(n −1) и (n −1)= km, где

170 Глава 13. ТЕСТ ФЕРМА ПРОВЕРКИ ЧИСЕЛ НА ПРОСТОТУ

Пусть q |k , тогда =1(n). Это возможно лишь при q = k = 1, т.е.

при m = n −1. Таким образом, порядок числа a - максимально возможный,

следовательно, он совпадает с функцией Эйлера от n и ϕ(n)= n −1.

По определению функции Эйлера, это выполнимо только в случае, когда n - простое.

Замечание. Легко видеть, что условия теоремы Люка эквивалентны существованию натурального числа b, такого, что ordnb = n −1.

Покажем, что в критерии Люка можно выбирать число a для каждого q

независимо, т.е. в условии теоремы можно заменить a на a(q).

Теорема (Сэлфридж). Натуральное число n является простым в том и только том случае, когда для любого собственного делителя q ||(n −1) числа n −1 существует такое натуральное число a = a(q), что выполняются следующие условия: an−1 =1(n), a(n−1)q ≠1(n).

Доказательство. Очевидно, из условий теоремы Люка следует выполнение условий теоремы Сэлфриджа. Необходимо доказать, что из условий теоремы Сэлфриджа следуют условия теоремы Люка. Мы сделаем это, убедившись, что в условиях теоремы Сэлфриджа существует натуральное число b, такое, что

ordnb = n −1.