j (номер колонки) в строке таблицы R с меткой

p .

Поскольку в каждой строке элементы различны, то для данного числа

соответствующую ему позицию мы определим однозначно.

Для этого,

конечно, мы должны быстро просмотреть строку таблицы R ,

что возможно, поскольку число q −1 - гладкое.

10.3. Алгоритм дискретного логарифмирования

Предположим, что x представлен в

p -ичной системе счисления. Тогда

его вычет по

модулю pa

имеет вид

x = x

+ x p +K+ x

a−1

pa−1 mod pa ,

0

1

0 ≤ xi ≤ p −1.

Обозначим

y0 = y .

Для

определения

чисел

xk ,

k = 0,K,a −1,

предложим следующую процедуру, которую обсудим позже.

Прежде всего, определяем x

как позицию

yu p

в строке с номером p

0

0

Для

k >0 коэффициент xk

определяем как позицию элемента

yku

pk +1

в

строке

с

меткой

p

таблицы

R .

При

этом,

yk = y0

bh(k ) ,

где

h(k )= x + x p +K+ x

pk −1 .

0

1

k −1

Повторив процедуру

для

каждого

p ,

делящего

q −1,

мы

получаем

значения

x mod pa ,

а затем

с

помощью китайской

теоремы

об

остатках

восстанавливаем x mod(q −1).

Обоснуем процедуру определения xk .

Вычислим y0u p . Очевидно,

y0u p -

корень степени

p из единицы, причем

yu p = yu

p = bxu p = bx0u p+(x−x0 )u

p

, где

x − x

0

= x p +K+ x

a−1

pa−1 .

0

1

Кроме того, число x0u

p является целым, т.к. u делится на

p .

В выражении (x − x0 )u p оба сомножителя делятся на

p . Разделив на

p

первый

сомножитель,

получаем,

что (x − x

)u

p = ku ,

т.е.

yu

p

= bx0u

p .

0

0

Сравнив с обозначением r

, j

=b ju

p , получаем, что yu p

= r

при

j = x .

p

0

p, j

0

Это позволяет определить

x

, как позицию

yu p в строке таблицы

R с

0

0

меткой p .

Уничтожим теперь x

в показателе степени bx ,

разделив

y

0

на

bx0 .

0

По условию, число u p2

- целое (при a ≥ 2). В выражении

x − x

все

0

члены, кроме

x p , делятся на

p2 . Поэтому в показателе

u (x − x

)

p2

все

1

0

Поскольку u делится на

p ,

то число

ux p

p2

=x u

p -

также целое,

1

1

откуда yu

p2 = bx1u p = r

при

j = x . Таким образом,

x равен позиции

yu p2

1

p, j

1

1

1

в строке с меткой p таблицы R .

Для определения

x

уничтожим

x

в показателе степени bx−x0 , разделив

2

1

y

на

bx1 p1 .

Получим:

y

2

= y

0

bx0 p0 +x1 p1

,

т.е.

y

2

= bd ,

где

1

d = x2 p2 +K+ xa−1 pa−1 .

Вычисляем yu p3

= bx2u p = r

, при

j = x , что позволяет определить x

2

p, j

2

2

по таблице R и т.д., пока не определим xa−1 .

10.3.1. Пример вычисления дискретного логарифма

В поле F37 , при b = 2, найти дискретный логарифм элемента 28.

Решение. Задача сводится к решению в поле F

уравнения 28 = 2x .

37

Число

q = 37

является

первой

степенью

простого

числа, поэтому

Далее,

u = q −1 =36 = 22 32 ,

следовательно,

имеем два

простых

делителя: 2 и 3.

Составим таблицу

R .

Начнем

со строки с меткой p = 2.

Вычислим

r

=b j(q−1) 2

для j = 0,1

: r

=1,

r

= 2(q−1) 2 ≡ −1(37).

2, j

2,0

2,1

Элементами строки с меткой 3

являются числа:

r

=b j(q−1) 3 ,

j = 0,1,2 ,

3, j

3

1

26

10

Найдем вычет

x = x

+ x p +K+ x

a−1

pa−1

mod pa ,

при p = 2, a = 2 .

0

1

Число шагов равно

a = 2 . Итак, необходимо определить

x0 , x1 . Найдем x0 .

Вычислим y ,

уничтожив член с

x

в показателе числа bx :

y = y

0

bx0 p0 .

1

0

1

Поскольку x

= 0 ,

то y = y .

Возводим y

в степень u

p2 ,

где

p2 = 4:

0

1

0

1

yu 4 = 2836 4 = −1(37).

1

Позиция числа (-1) в строке 2 таблицы R равна 1, следовательно,

x1 =1.

Итак x = x0 + x1 p = 2 mod 4.

Найдем вычет

x mod pa , при

p = 3 , a = 2 . Число шагов равно a = 2 .

y0u p = 2812 ≡ 26(37). Позиция

числа

26 в строке 3 таблицы

R

равна 1,

следовательно,

x =1, поэтому

y = y

0

bx0 p0 =14 .

0

1

Возводим

y

в степень

u

p2 ,

где

p2 =9 :

yu 9

=1436 9 =10(37),

1

1

следовательно x1 = 2 . Итак,

x =7 mod9.

Решаем

систему сравнений x = 2 mod4 , x =7 mod9: 9−1(4)=1,

4−1(9)=7 ,

x ≡ 2 9 (9−1 mod 4)+ 7 4 (4−1 mod 9)= 214 , т.е.

pr , p > 2, r >1. В

этом случае

легко обеспечить большие размеры и

разнообразие генерируемых ключей.

Известно [14,гл.6],

что в кольце

Z pr Z вычетов по модулю m = pr

Далее будем считать, что m = pr ,

r >1. Заметим,

что в этом случае,

L

(a + mc)= L (a)+ (pr − pr−1 )ca-1 (mod m)= L (a)(mod pr−1 ).

Таким

m

m

m

образом, если a ≡ b(mod m), то

L (a)≡ L (b)(mod pr−1 ).

m

m

Если

L (γ )= 0(mod pr−1 ),

то из

определения

L (γ ) следует, что

m

m

Однако,

γ

- первообразный

корень по

любому

модулю

pα , α >1,

поэтому ϕ(p2r−1 )≤ϕ(m),

откуда

2r − 2 ≤ r −1, т.е.

r ≤1, что противоречит

условию.

Если L

(γ )= 0(modm), то

L

(γ )= 0(mod pr−1 )и r ≤1.

m

m

Аналогично, при L

(γ )= pt(mod pr−1 ),

получаем

γϕ(m) =1(mod pr+1 ),

m

что невозможно, т.к. ϕ(pr+1 )>ϕ(m).

Таким образом, элемент Lm (γ )

взаимно

прост

с

p и, следовательно,

обратим по модулю pr−1 .

Рассмотрим задачу логарифмирования

в группе единиц кольца

Z mZ ,

полагая,

что

эффективный алгоритм

логарифмирования в кольце

Z pZ

известен.

Из соотношения b =γ x mod pr

следует,

что

b =γ x mod p ,

т.е. нам

известно значение x по модулю

p −1. Если мы найдем x(mod pr−1 ), то

значение

x

по модулю ϕ(m)= pr−1(p −1)

можно вычислить по китайской

теореме об остатках.

Очевидно,

что значение x(mod pr−1 )

легко определить

из сравнения

L (b)= xL (γ )(mod pr−1 ).

m

m

Таким

образом,

нам

необходимо

вычислять

значения