4.2 Нелінійність булевої функції

Практика показує, що криптографічні перетворення, які мають властивості близькі до властивостей афінних функцій, у багатьох випадках призводять до істотного зниження стійкості шифрів.

Виходячи з цього, в криптографії важливе значення мають функції, яким не притаманні подібні слабкості. Це є причиною введення різних характеристик щодо якості булевих функцій з точки зору криптографічних застосувань.

Відповідні критерії, строго кажучи, протичать один одному. Це тягне за собою необхідність компромісу, а також ускладнює пошук великих класів функцій з відповідними характеристиками.

Однією з важливих характеристик булевої функції є її нелінійність.

Нелінійністю булевої функції відзмінних називається параметр- відстань віддо множини афінних функцій, тобто значення,.

Через координатні функції це визначення можна узагальнити на булеві відображення , виходячи з властивостей сукупності усіх нетрівіальних лінійних комбінацій виду.

У цьому випадку ,,.

Для вивчення нелінійності та інших властивостей булевих функцій велике значення має перетворення Уолша-Адамара. Це перетворення діє на булевих функціях. Результатом перетворення є цілочислена псевдобулева функція.

При перетворенні Уолша-Адамара элементи 0 и 1 поля розглядаються як звичайні цілі числа. Результатом перетворення функції є цілочислена функція ,,що пов’язана з усіма векторами значень виду . Очевидно, у кожному подібному векторі одиниці відповідають місцям неспівпадінь правої частини з правою частиною відповідної лінійної функції .

Іншими словами, якщо на цих місцях замінити біти у векторі значень на протилежні, топеретвориться на.

Нехай вектор розглядається як запис деякого числа у двійковій системі счислення. У цьому контексті значення часто називається коефіціентом Уолша-Адамара функції з номером.

З урахуванням цього, . Далі ми покажемо, що дозволяє обчислити , де.

Значенням є різниця між кількістю нулів та одиницьу векторі : ,де проходить всю множину аргументів.

Оскільки піднесення мінус одиниці до степенів, що відрізняються на парні ціли доданки, дає той самий результат, то можна записати через звичайний скалярний добуток та дійсне додавання: .

Співставимо вектору значень булевої функції вектор значень псевдобулевої функції , в якому , тобто нулізамінимо на, а одиниці – на. Функція часто позначається якexp.

Це дає інший запис: , який можна розглядати як скалярний добуток .

Зауважимо, що , тобто, це число є парним.

Приклад. Обчислимо і при заданій .

Функції ,і. . .
0000	0	0	1
0001	0	0	0
0010	0	0	0
0011	0	0	1
0100	1	1	0
0101	1	1	1
0110	1	1	1
0111	1	1	0
1000	0	1	1
1001	0	1	1
1010	0	1	0
1011	0	1	0
1100	1	0	0
1101	1	0	0
1110	1	0	0
1111	1	0	1

Оскільки функція - фіксована, то можна вважати, що аргументом є лінійна функція, яка задається вектором коефіціентів та уявляти результат перетворення Уолша-Адамара у вигляді таблиці з цілочисленим вектором значень .