1.5 Подібні підстановки, задача Лагранжа

Підстановки називаються подібними, або спряженими (), якщо існує підстановка, така, що.

У деяких криптографічних застосуваннях виникає задача Лагранжа, яка полягає в знаходженні всіх розв’язків рівняння при заданих.

Виявляється, що розв’язок рівняння Лагранжа існує тоді і тільки тоді, коли циклові структури підстановок іспівпадають.

Розв’язки можна отримати за допомогою «оператора Лагранжа» .

Нехай , Розглянемо множинувсіх різних перестановок циклів, що входять до циклічного запису підстановки (включаючи цикли довжини 1). Маємо. Виписку окремого циклу можна здійснювати з довільного елемента циклу, тобто з довільним циклічним зсувом вліво, скажимо,. Нехай- довільний циклічний зсуввліво.

Тоді можна записати ще у більшій кількості варіантів. Множину цих варіантів записуу видіпозначимо через.

Оператор Лагранжа задає множину розв’язків, що будуються наступним чином:

а) виписуємо одну довільну перестановку циклів з множини, під нею почергово записуемо всі перестановкі циклівз, але такі, щоб над відповідним циклом довжиниз циклічного запису підстановкибув розташований цикл з циклічного запису підстановкитієї ж довжини;