1.2 Матриці лінійних перетворень

Відображення (перетворення) :називається лінійним оператором якщо виконуються наступні умови.

, ,.

Таким чином, гомоморфізми є лінійними перетвореннями.

Матрицею розміранад полемназивається прямокутна таблиця, що складається зрядків тастовбчиків, яка міститьелементів (чисел) поля.

Елемент індексується номером рядката номером стовбчика, на перетені яких він знаходится.

Дію лінійного оператора на вектори, що задані в координатній формі, можна визначити у термінах матричних операцій. При цьому, якщо задано базис, кожному оператору відповідає одна матрицяз елементами, що належать. Легко зрозуміти, що координатний запис самих векторів базису у тому ж базисі має вид.

Стовбчик з номером матрицідоівнює вектору, що отриманий в результаті дії операторана-й вектор з базису простору.

Саме чарез це матриця оператора залежить від вибору базису.

Нагадаємо основні матричні операції.

Транспонуванням матриці розміруназивається операція побудови матриці(інше позначення -) розміру, де.

Сумою матриць ірозміруназивається матриця, де. Добуток матриці на константу з поля виконується покомнпонентно.

Лінійною формою над кільцем з вектором змінних і фіксованими коефіціентами,,називається функція .

Для функції деколи використовується позначення . Зауважимо, що на відміну від скалярного добутку, тут можливий випадок, при. Це залежить від операційкільця .

Очевидно, лінійну функция повністю визначається набором коефіціентів, тобто її можна пов’язати з вектором , тому часто використовується позначення.

Очевидно, при функціяє лінійним відображенням.

Добуток матрицірозмірузліва на матрицюрозмірувизначено лише у випадку коли.

У загальному випадку .

Добуток матриць є асоциативним, якщо добутки, необхідні для виконання відповідних операцій, визначені.

У частковому випадку добутку матриці-рядка на матрицю-стовбчик, результат визначається як.

У загальному випадку елемент матрицівизначається як, де- рядок матриціз номером, а - стовбчик матриці з номером.

Рангом матриці називається ранг системы її векторів-стовбчиків. Звичайно ранг позначається як.

Теорема 1.1 Ранг матриці співпадає з рангом системи її векторів-рядків.

Матриця розміруназивається квадратною, якщо. Числоназывается її порядком.

Множина квадратних матриць порядку є некомутативним кільцем.

У цьому кільці нулем є матриця , що складається з нулів. Одиницею - матриця, у якої всі елементи головної діагоналі дорівнюють 1, а решта – 0.

Добуток квадратної матриці на константувизначається як. Можна легко переконатися, що, таким чином, матриці видувідіграють роль констант і.

Добуток квадратної матриці порядка на матрицю-стовбчик можна розглядати як операцію над вектором. Ця операція є линейным перетворенням- вимірного векторного простору.

Квадратна матриця називаєтся зворотною, якщо згадане перетворення є взаємно однозначним.

Нехай - зворотна матриця. Матрицею оберненою доназиваєтся матриця, для якої виконується умови. Таким чином, у цьому випадку, якщо, то. Існуюь ефективні алгоритми побудови обернених матриць.

Квадратна матриця називається виродженою, якщоне існує. Необхідною і достатньою умовою виродженості квадратної матриціпорядкує умова.

Ранг матриці не змінюється, якщо її довільний рядок (стовбчик) замінити на рядок (стовбчик) виду, дета- рядки (стовбчики) даної матриці з різними номерами, і. Крім того, ранг матриці не змінюється при замініна,, а також при довільних перестановках її рядків (стовбчиків).

Ці операції називаються елементарними перетвореннями матриці.

Головною діагоналлю с номером матриці розміру назвемо підмножину її елементів виду , дедля. Якщо, то діагональ называєтся головною, всі інші діагоналі называются побічными. На рис. 1.1 елементи головної діагоналі позначені символом.

а) б) в)

Рис. 1.1 Головна діагональ матриці: а) - , б) -, в) -.

Використовуючи елементарні перетворення, ненульову матрицю завжди можна звести до виду, при якому нижче її головної діагоналі знаходяться тільки нулі (рис. 1.1 в), а на самій діагоналі, починаючи з верху, послідовно розташовуються декілька одиниць. Такий вигляд матриць називається трапецеїдальним.

Кількість цих одиниць дорівнює рангу матриці.