Лекція 1 скінченновимірні лінійні перетворення

1.1 Скінченновимірний лінійний простір

Лінійним векторним простором над полем називається множина, елементи якої називаються векторами і для якої виконуються наступні аксиоми.

1. На множині задано додавання - двомісна комутативна операція, тобто:. Результат додавання векторів називається сумою.

2. Додавання векторів асоціативно.

3. На множині задано добуток векторів на элементы поля, тобто відображення виду,,.

При цьому і,,.

4. Існування нульового вектора: .

5. Існування протилежного вектора: .

6. .

Відображення :називається гомоморфізмом лінійних просторів, і, якщо,і,.

Якщо гомоморфізм :є взаємно однозначним відображенням, то він називається ізоморфізмом, а простори,- ізоморфними.

Лінійною комбінацією векторів , з коефіціентами називається вектор .

Система векторів є лінійно незалежною, якщо рівністьможлива в тому і тільки в тому випадку, коли.

Лінійно незалежна підсистема системи векторів називається максимальною, якщо при збільшенні її на довільний вектор з системи, вся система стає лінійно залежною. Рангом системи називається потужність її максимальної лінійно незалежної підсистеми векторів.

Лінійний векторний простір називається скінченновимірним, якщо у ньому існує максимальна линійно незалежна підсистема, що складається зі скінченної кількості векторів.

Покажемо, що скінченновимірні лінійні простори існують.

Арифметичним - мірним лінійним простором називається множина , елементами якої є впорядковані послідовності що складаються з елементів поля . Елементи називаються координатам вектора .

Звичайно координати вектора записують у стовбчик, але для скорочення запису дозволяється запис у рядок, якщо з контексту ясно, що мова йде про вектор.

Очевидно, відносно покомпонентної сумми та покомпонентного добутку на елемент поля , множинає лінійним векторним простором над. Цей простір позначається.

Легко переконатися, що система , де, а одиниця знаходиться на-ому місці, є максимальною линейно незалежною підсистемою всього простору. Можна довести, що всі максимальні линейно незалежні підсистеми, що належатьмістять однакову кількість векторів.

Очевидно, якщо , то і цей запис є однозначним, тобто, , якщо .

Базисом лінійного простору називається система векторів, така, що довільний вектор простору записується однозначно у вигляді лінійної комбінації її векторів. Очевидно, базис є максимальною линейно незалежною підсистемою всього простору.

Кількість векторів у базисі називається розмірністю скінченновимірного лінійного векторного простору. Розмірністьпозначається. Якщо, то лінійний векторний простір называется- вимірним.

Можна довести, що:

а) ізоморфні скінченновимірні векторні простори мають однакову розмірність;

б) довільний скінченновимірний лінійний векторний простір над полем ізоморфний при деякому.

Таким чином, якщо базис в вибраний, то вектори зможна записувати у координатному виді.

Лінійний простір може мати нескінченний базис. Особливе місце займає так званий фінітний простір, кожний вектор якого має скінчену кількість ненульових координат, наприклад простір поліномів на полем дійсних чисел.