22.3 Критерій хі-квадрат однорідності

При застосуванні критерія узгодження теоретичні значення ймовірностейподійвідомі точно.

Часто виникає ситуація, коли необхідно на основі даних двох незалежних серий випробувань преревірити, що кожна з серій є реалізацією однієї випадкової величини з невідомими ймовірностями , тобто, чи не змінився закон розподілу ймовірностей при переході від першої до другої серії випробувань.

Нехай здійснено послідовних незалежних серій випробувань звипробувань відповідно.

Нехай, крім того, у кожному окремому випробуванні серії з номером подіяможе реалізуватися з (невідомою) ймовірністю.

Для поясненя критерія розташуємо частоти зустрічаємості подій у кожній серіі випробовувань в окремий стовбчик таблиці (таб. 22.1).

Елемент таблиці дорівнюї кількості спостережень подіїу серії випробовувань з номером

Покладемо і введемо традиційне позначення.

Таблиця 22.1 Розташування частот зустрічаємості випробовувань

	1					по рядках
по стовб- чиках

Необхідно перевірити гіпотезу , за якою.

Виявляється, що це можна зробити за статистикою ,

яка асимптотично має розподіл ,.

22.4 Універсальний статистичний тест Маурера

Для даного тесту - це припущення, що двійкова послідовність є чисто випадковою.

Нехай відрізок сгенерованої двійкової послідовності представлено у пам’яті комп’ютера як послідовність фрагментівпобітів на фрагмент. Наприклад, при, фрагменти являються байтами. Рекомендовано вибиративід 8 до 16.

Накладемо деяки умови на . А саме, припустимо, щодозволяє розбити послідовністьза допомогою індексана дві частини, де,- параметри теста:-кількість початкових даних теста, а- кількість кроків алгоритму обчислення вибіркових даних. Рекомендовано вибирати,.

Для кожного з фрагментів послідовно знайдемо значення деякої відповідної випадкової величини.

Неформально, , девідстань у послідовностіміж фрагментомта його найближчим повторенням зліва (якщо таке існує). У випадку, коли повторення не існює, покладаємо.

Наприклад, , якщо послідовнністьмає наступні особливості:.

Таким чином, для ,

, за умови, що відповідне існує. Інакше,.

Тест Маурера оснований на статистиці виду .

Для критерія необхідно знати математичне сподівання та дисперсіюпри істиннійі.

; , де

-, а дляіснує апроксимація:

.

Гіпотеза оцінюється на рівні значимостінормального розподілу, залежно від значень,та інтервалувиду

, . Тут,- квантіль нормального розподілу.

Якщо , топриймається, інакше, приймається.