5.3 Приклади
Запишемо
булеву функцію
у табличному виді, та обчислимо її
похідні
для
і
при
,
.
Тобто, ми обчислимо не всі похідні
другого порядку, а деякі.
Таблиця 5.1 Похідні булевих функцій
|
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
3 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
4 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
5 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
6 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
7 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
8 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
9 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
A |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
B |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
C |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
D |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
E |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
F |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
Підфункції
від двох змінних при
.
Оскількі
розмірність
аргументу підфункцій (тобто, після
фіксації) дорівнює 2, то кількість
змінних, що фіксуються дорівнює
.
Таким чином, умова
коректна. Якщо
не було би задано, то слід було б вибирати
чотири вектори
для всіх
значень
.
Таблиця
5.2 Підфункції, що отримані з
при
|
№ |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
8 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
9 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
№ |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
3 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
A |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
B |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
|
№ |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
5 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
С |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
В |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
№ |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
|
7 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
E |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
F |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
,
,
,
,
,
,
,
,
Критерій
.
Необхідно, щоб похідна
була рівноймовірною для всіх допустимих
.
Допустимими є чотири вектори з вагою
одиниця.
Один з
них:
.
Похідну
ми вже обчислили як приклад похідної
.
Кількість одиниць у векторі значень
функції
дорівнює 12, а не 8, таким чином, одна з
похідних не є рівноймовірною і
не задовілняє
.
Критерій
.
Нехай
,
тобто фіксуються 2 змінні.
Розглянемо
підфункцію
для
,
(табл. 5.2) і застосуємо до неї критерій
(табл.
5.3).
Маємо
випробувати вектори з вагою одиниця.
Нехай
,
.
Таблиця
5.3 Критерій
для
підфункції від двох змінних
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 0 |
0 0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 1 |
0 1 |
|
1 |
0 |
0 |
1 0 |
1 0 |
|
1 |
1 |
1 |
0 0 |
1 1 |
,
,
Похідні
і
є рівноймовірними, тому треба продовжити
обчислення для інших підфункцій.
Оскільки
при
функція
,
то для
і
.
Звідки випливає, що всі похідні цієї
підфункції, зокрема,
,
дорівнюють нулю, тобто не є рівноймовірними.
Таким чином,
не задовільняє
,
тому
не задовільняє
.
Критерій
розповсюдження
,
.
Для
цього критерія довільна похідна
має бути рівноймовірною.
Ми
обчислили
при
,
і знайшли, що вектор значень цієї функції
містить 10 одиниць (табл 5.1), тобто,
не задовільняє
.
Критерій
розповсюдження
степеня
,
порядку
.
Для
цього критерія всі похідні
,
для всіх підфункції
,
що отримані фіксацією
змінних, мають бути рівноймовірні.
Ми вже
знаємо, що
не задовільняє
,
тому існують похідні
,
які не є рівноймовірними, звідки випливає
що серед множини похідних
не всі рівноймовірні, тому
не задовільняє
.