Ряд Лорана

Приклад 1. Знайти область збіж­ності узагальненого степеневого ряду

Розв’язання. Знайдемо область збіжності головної частини . Застосовуючи радикальну ознаку Коші до ряду з модулів, визначаємо радіус збіжності

.

Тобто, головна частина абсолютно збігається при . На коліцей ряд розбігається, оскільки для відповідного ряду не виконується необхідна ознака збіжності.

Знайдемо область збіжності правильної частини . Застосовуючи ознаку Даламбера до ряду з модулів, визначаємо радіус збіжності

.

Тобто, правильна частина абсолютно збігається при . На коліцей ряд теж абсолютно збігається, оскільки відповідний ряд з модулів є збіжним узагальненим гармонічним рядом. Тодіобластю збіжності правильної частини служить замкнений круг .

Отже, областю збіжності початкового сумарного ряду служить спільна частина знайдених областей – кільце з центром .

Приклад 2. Розкласти в ряд за степенями функцію

а) у крузі (в околі точки );

б) у кільці ;

в) у кільці (в околі нескінченно віддаленої точки ).

Розв’язання. Особливими точками даної функції є точки і(у цих точках знаменник дорівнює нулю). Тому існують три області з центром у правильній точці (рис. 30), дефункція є аналітичною і може бути розвинена в ряд за степенями :

а) у крузі – в ряд Тейлора; б) у кільці– в ряд Лорана; в) у кільці– в ряд Лорана.

Оскільки дана функція є правильним раціональним дробом, то 1) розкладемо її на суму елементарних дробів; 2) у відповідній області кожен з доданків перетворимо до вигляду суми нескін­ченно спадної геометричної прогресії і перейдемо до відпо­відної прогресії; 3) підставляючи отримані розклади у вираз для функції , знайдемо шукане розвинення цієїфунк­ції в ряд Лорана у відповідній області.

.

а) У крузі :

;

;

;

.

б) У кільці :

(для першого доданку використовуємо знайдене в пункті а) розвинення);

;

;

.

в) У кільці :

.

Для другого і третього доданків використовуємо знайдені в пункті б) розвинення:

;

.

Тоді

.

Приклад 3. Розкласти в ряд Лорана функцію

в (проколотому) околі точки .

Розв’язання. Особливими точками даної функції є точки і(див. попередній прикл. 2).Тому існують дві області з центром в особливій точці (рис. 31), дефункція є аналітичною і може бути розвинена в ряд за степенями різниці :

а) у кільці (у проколотому околі точки ) – в ряд Лорана;

б) у кільці – в ряд Лорана.

У поставленій задачі розглядається (проколотий) окіл точки . Радіусвизначається як від­стань від центрадо найближчої особливої точки (в даному випадку обидві особливі точкирозміщені на однаковій відстані від точки).

Розкладемо функцію на суму елементарних дробів(див. попередній прикл. 2):

.

Перший доданок виражений через степінь різниці , тобто має потрібний вигляд. Другий і третійдоданки перетворимо до вигляду суми нескін­ченно спадної геометричної прогресії відносно різниці і перейдемо до відпо­відної прогресії. Підставляючи отримані розклади у вираз для функції , знайдемо розвинення цієїфункції в ряд Лорана в (проколотому) околі точки :

;

;

.