Міністерство освіти і науки України

Державний університет ТеЛЕКОМУНІКАЦІЙ

КАФЕДРА ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ

ЗАТВЕРДЖУЮ

Завідуючий кафедрою

________________Барабаш О.В.

“ ____ “ _____________ 2015 року

Тільки для викладачів

СЕМЕСТР 2

МЕТОДИЧНА РОЗРОБКА № 17(35)

МОДУЛЬ 3(6)

Тема 5(12): Основи теорії функції комплексної змінної.

Розклад функцій в ряд Лорана. Особливі точки та інтегральні лишки аналітичних функцій.

з навчальної дисципліни вища математика

напряму підготовки телекомунікації

освітньо-кваліфікаційного рівня бакалавр

Розробка

кандидатом фіз.-мат. наук, доцентом Онищенко В.В.

Обговорено на засіданні кафедри (ПМК)

Протокол № __________

“ ____ “ _____________ 2015 року

Київ - 2015

Навчальні цілі: Набуття студентами первинних навичок розкладу функцій в ряд Лорана. Знаходити особливі точки та інтегральні лишки аналітичних функцій.

Виховні цілі: Обґрунтувати, що якісне вивчення математичного програмування сприяє:

• розвитку логічного та аналітичного мислення, пам’яті;

• можливості самостійно вивчати сучасну науково-технічну літературу;

• вмінню коротко і зрозуміло висловлювати свої думки;

• акуратності і точності записів, уважності, дисциплінованості;

• вмінню конспектувати, красиво оформлювати записи робочих зошитів для практичних занять та індивідуальних робіт;

• набуттю навичок систематизації матеріалу, що вивчається.

Час: 1,5 години.

План проведення заняття та розрахунок часу

Введення.

Перевірити наявність студентів…………………………….……до 5 хвилин

Навчальні питання:

1.Актуалізація знань студентів ………………………………10 хвилин

2.Оримання практичних навичок 55 хвилин

3.Завдання………………………………………………………….. 15 хвилин

Заключення до 5 хвилин

НАВЧАЛЬНО-МАТЕРІАЛЬНЕ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ

Бажано мати:

1. крейду і вологу губку.

Література:

1. 1. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 1978. – Т.2.

2. Гутер Р.С., Янпольский А.Р. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие для втузов. – Изд.2-е, перераб. и доп. – М.: Высшая школа, 1976.

3. Данко П. Е., Попов А. Г. Высшая математика в примерах и задачах: Учебное пособие, ч. 2. – М.: Высшая школа, 1967.

4. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа для втузов. – М.: Наука, 1972.

5. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учебное пособие для вузов. – 10-е издание. – М.: Наука,1990.

6. Валєєв К. Г., Джаладова І. А., Лютий О.І. та ін. Вища математика: Навч.-метод. посібник для самост. вивч. дисц. – К.: КНЕУ, 2002.

Навчальні матеріали

І. Актуалізація знань студентів (повторення основних положень лекції):

Ряди функцій комплексної змінної

Приклад 1. Дослідити на збіжність:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Розв’язання. 

а) Обидва дійсні ряди ізбігаються – перший за ознакою Даламбера, а другий за радикальною ознакою Коші (покажіть це самостійно). Тому заданий ряд та­кож збігається.

б) Ряд з дійсних частин розбігається як гармонічний, тому заданий рядтеж розбігається (хоча ряд з уяв­них частинзбігається заознакою Даламбера).

в) Ряд з дійсних частин збігається як узагальнений гармонічний з показником степеня, а ряд з уяв­них частинрозбігається як геометрична прогресія зі знаменником. Тому заданий рядтеж роз­бі­гається.

г) Обидва дійсні ряди ірозбігаються, оскільки не задовольняють необхідну ознаку збіжності (по­ка­жіть це самостійно). Тому заданий ряд також розбігається.

Приклад 2. Показати, що заданий ряд збігається абсолютно

.

Розв’язання. Дослідимо на збіжність ряд із модулів:

.

Цей ряд збігається як геометрична прогресія зі знаменником . Тому заданий рядзбігається абсолютно.

Приклад 1. Знайти радіус збіжності степеневого ряду:

а) ; б); в).

Розв’язання. 

а)

.

б) .

в)

.

Приклад 2. Розкласти функцію в ряд Тейло­ра в околі точки і знайти радіус збіжності отриманого ряду.

Розв’язання. Подамо функцію у вигляді

.

Якщо , то другий доданок в останньому виразі можна розглядати як суму нескінченно спадної геометричної прогресії з першим членом і знаменником. Тоді

.

Отриманий ряд в силу однозначності розвинення і є шуканим рядом Тейлора. Радіус збіжності цього ряду визначається з умови . Тоді. Отже,.

Радіус збіжності можна знайти інакше як відстань від центра ряду до найближчої особливої точки функції (у даної функції особлива точка єдина).