Дискретка.Лекции, литература / Chast1_2012

45.27.A = f(x2 ! x1) ! (x1 # x2); (x1 x2); x1 _ x2; (x1 j x2) x1g

45.28.A = f(x1 _ x2) ! (x1 ! x2); x2 (x1x3); (x2 # x3) _ (x1 x2); (x1 ! x3) ! x2g

45.29.A = fx3 ! (x1 x2); (x2 x3) ! (x1 j x2); x2x3 (x2 j x1); x1 (x2 x3)g

45.30.A = f(x2 # x3) _ (x1 ! x2); x3 _ (x1 x2); x1(x2 _ x3); x3 j (x1 _ x2)g

51

46.Проверить полноту системы функций A.

46.1.A = (T0nT1) [ (S \ L)

46.2.A = (LnM) [ (T0nT1)

46.3.A = (T0nS) [ (MnS)

46.4.A = (L \ M) [ (T0nS)

46.5.A = (T0nL) [ (SnT1)

46.6.A = (M \ T1) [ (T0nL)

46.7.A = (T1nT0) [ (T0 \ M)

46.8.A = (L \ S) [ (T1nT0)

46.9.A = (T1nS) [ (T0 \ L)

46.10.A = (M \ L) [ (T1nS)

46.11.A = (T1nL) [ (M \ T0)

46.12.A = (L \ T0) [ (T1nL)

46.13.A = (T1nM) [ (L \ M)

46.14.A = (MnS) [ (T1nM)

46.15.A = (SnT1) [ (MnL)

46.16.A = (MnT0) [ (SnT1)

46.17.A = (SnM) [ (MnT1)

46.18.A = (L \ T1) [ (SnM)

46.19.A = (T0nT1) [ (SnM)

46.20.A = (SnT1) [ (T1nS)

46.21.A = (T1nS) [ (SnM)

46.22.A = (SnM) [ (T1nT0)

46.23.A = (T1nL) [ (SnM)

46.24.A = (SnM) [ (T0nS)

46.25.A = (T1nM) [ (SnT1)

46.26.A = (SnT1) [ (T0nM)

46.27.A = (T0nS) [ (SnT1)

46.28.A = (SnM) [ (T0nL)

46.29.A = (T1nM) [ (SnL)

46.30.A = (T1nL) [ (SnT0)

52

AПриложение. Домашняя контрольная работа

Используя функции из полной системы функций A,

по лемме о несамодвойственной функции построить константу;

по лемме о немонотонной функции построить отрицание;

по лемме о нелинейной функции построить конъюнкцию;

выразить функцию '.

1.A = ff = x1 # ((x3 # x1) x3); g = x1 (x1 # x3 _ x2);

4. A = ff = x3 ! (x3 (x3 # x2)); g = x1 _ (x3 # x2 ! x1); h = x3x2 x1 x2g, ' = (1000)

5. A = ff = x3x1 ! (x2 x1); g = x3x2 # (x2 _ x3);

53

54

BПриложение. Разные задачи

1.Доказать, что формула, содержащая только связку , тождественно ис-

тинна1 тогда и только тогда, когда любая переменная входит в нее четное число раз.

2.Доказать, что если F тождественно истинная формула, то после заме-

ны в ней каждой переменной на ее отрицание, получится тождественно истинная формула.

3.Доказать, что F тождественно истинна тогда и только тогда, когда Fyx1!y2 тождественно истинна, где y1; y2 переменные, не входящие в F , à Fyx1!y2

результат замены в F переменной x на формулу y1 ! y2.

4.Доказать, что формула вида (A&B) _ C дедуктивно эквивалентна2 формуле (x&A) _(x&B) _C, ãäå A; B; C произвольные формулы, не содержащие переменную x.

5.Доказать, что формула A дедуктивно эквивалентна формуле A&B, ãäå B получена из A заменой каждой переменной на ее отрицанием.

6.Доказать, что всякая формула дедуктивно эквивалентна д.н.ф. вида A _ B, где формула A д.н.ф., не содержащая отрицаний переменных, а B

д.н.ф., не содержащая положительных вхождений переменных.

7.Доказать, что всякая формула дедуктивно эквивалентна д.н.ф. вида A _ B, где формула A д.н.ф., не содержащая отрицаний переменных, а B получается из A заменой каждой переменной ее отрицанием.

8.Найти длину СДНФ заданной функции

8.1.x1 : : : xn; длина СДНФ равна 2n 1

8.2.(x1 _ : : : _ xn)(x1 _ : : : _ xn); длина СДНФ равна 2n 2

8.5.(x1 x2)(x2 x3) : : : (xn 1 xn)

8.6.(x1 x2)(x2 x3) : : : (xn 1 xn)

8.7.(x1 x2)(x2 x3) : : : (xn 1 xn)(xn x1)

8.8.(x1 x2) _ (x2 x3) _ : : : _ (xn 1 xn)

8.9.(x1 x2) _ (x2 x3) _ : : : _ (xn 1 xn) _ (xn x1)

1Формула называется тождественно истинной, если она равна 1 при любых значениях аргументов.

2Формула A дедуктивно эквивалентна формуле B, åñëè A общезначима тогда и только тогда, когда B общезначима

55

8.10.(x1 x2) _ (x2 x3) _ : : : _ (xn 1 xn)

8.11.(x1 ! x2)(x2 ! x3) : : : (xn 1 ! xn)

8.12.(x1 ! x2)(x2 ! x3) : : : (xn 1 ! xn)(xn ! x1)

8.13.(x1 ! x2)(x2 ! x1)(x2 ! x3)(x3 ! x2) : : : (xn 1 ! xn)(xn ! xn 1)

n

X

8.14. x1 : : : xi 1xi+1 : : : xn x1 : : : xn

i=1

8.15.(x1 _ x2)(x2 _ x3) : : : (xn 1 _ xn); длина СДНФ равна n + 1

8.16.(x1 _ x2)(x2 _ x3) : : : (xn 1 _ xn)(xn _ x1); длина СДНФ равна 2

8.17.(x1 j x2) _ (x2 j x3) _ : : : _ (xn 1 j xn); длина СДНФ равна 2n 1

8.18.(x1 # x2)(x2 # x3) : : : (xn 1 # xn); длина СДНФ равна 1

8.19.(x1 j x2)(x2 j x3) : : : (xn 1 j xn); длина СДНФ равна n + 2-ìó числу в

последовательности Фибоначчи

8.20. (x1 _ x2)(x2 _ x3) : : : (xn 1 _ xn); длина СДНФ равна n + 2-му числу в

последовательности Фибоначчи

n

8.21. (: : : ((x1 ! x2) ! x3) : : :) ! xn; длина СДНФ равна Sn = P 2k( 1)k

k=0

n

при четных n, Sn = P 2k( 1)k+1 при нечетных n

k=0

8.22.((: : : ((x1 ! x2) ! x3) : : :) ! xn) ! ((: : : ((y1 ! y2) ! y3) : : :) ! yn); длина СДНФ равна 2n+1 2n Sn+(Sn)2, ãäå Sn берется из предыдущего

примера

9.Найти длину сокращенной ДНФ для функции

9.1.x1 : : : xn; длина сокращенной ДНФ равна 2n 1

9.2.(x1 _ x2 _ x3)(x1 _ x2 _ x3)(x4 : : : xn); длина сокращенной ДНФ равна 6 2n 4

9.3.(x1 : : : xk)(xk+1 : : : xn)

9.4.(x1 _ : : : _ xn)(x1 _ : : : _ xk _ xk+1 _ : : : _ xn); длина сокращенной ДНФ равна k + (n k)(n k 1)

10.Доказать, что если функция самодвойственна, то в ее ДНФ любые 2 слагаемых имеют общий сомножитель.

11.Доказать, что если функция самодвойственна, то в ее КНФ любые 2 сомножителя имеют общее слагаемое.

12.Доказать, что если произведение любых двух элементарных конъюнкций в ДНФ равно 0, то после замены _ на получится формула, эквивалентная исходной.

56

13.Доказать, что формула x&A _ x&B эквивалентна формуле x&A x&B.

14.Доказать, что любой предполный класс замкнут.

15.Доказать, что если замкнутый класс имеет конечный базис, то всякий его базис конечен.

16.Доказать, что всякий замкнутый класс, содержащий функцию, отличную от константы, содержит функцию x.

17.Доказать, что система, состоящая из функций, двойственных к функциям некоторой полной системы, полна.

57

Отпечатано в полном соответствии с предоставленным оригинал-макетом

Подписано в печать 24.02.2012 г.

Форм. бум. 60х84 1/16. Гарнитура Таймс . Печать ризографическая. Печ.л. 1,75. Т.120. З.68.

Лаборатория оперативной полиграфии Издательства КФУ 420045, Казань, ул.Кр.Позиция, 2а

Òåë. 231-52-12

59